|
小学数学思想方法的梳理（十）
课程教材研究所 王永春
十四、极限思想 1. 极限思想的概念。 我们知道，在小学数学里有些问题不是通过初等数学的方法解决的，如圆的面积，无法直接按照求长方形面积的方法来计算。我国古代数学家刘徽为了计算圆的面积和圆周率，曾经创立了“割圆术”，具体作法是：先做圆的内接正六边形，再做内接正十二边形…随着边数的不断增加，正多边形越来越接近于圆，那么它的面积和周长也越来越接近于圆的面积和周长。刘徽在描述这种作法时说“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆周合体而无所失矣”。也就是说，随着正多边形的边数无限增加，圆内接正多边形就转化为圆，这种思想就是极限思想，即用无限逼近的方式来研究数量的变化趋势的思想。为了便于理解,我们先从数列说起，数列是按照正整数1,2,3,…,n,…编号依次排列的一列数，可写成如下形式
其中
2，4，6，…，2n，… 1，-1，1，-1，1，-1，… 都是数列，当n无限增大时，这些数列的通项都会随之变化，有的趋向于无穷大，如第二个数列；有的无限接近于某一常数，如第一个数列无限接近于0，这时我们就说该数列以0为极限，或者说收敛到0。通俗地说，就是对于任意给定一个不管多么小的正数ε，总是存在一个正整数N，使得n>N的通项 在上面的数列中，由无穷多个项相加的式子
叫做无穷级数，其中前n项的和可记作
当n趋向于无穷大时，如果数列Ｓn的极限存在，可设极限为Ｓ，这时极限Ｓ就是无穷级数 2. 极限思想的重要意义。 小学生的思维以形象思维为主，逐步向逻辑思维过渡；此外，在小学数学中还渗透着既对立又统一的辩证思维，如加与减、乘与除是学生非常熟悉的辩证关系。在极限思想中，也渗透着有限与无限、曲与直、变与不变的辩证关系。我们知道，多边形的面积直接用公式就可以计算出来，而如果其中有的边改成曲边，就无法直接用多边形的面积公式计算，就要用定积分来求了，如曲边梯形（直角梯形的斜边是曲边）的面积计算，就是先把曲边梯形平均分成n 个小曲边梯形，在每个小曲边梯形里取一个最大的小矩形，这时n个小矩形的面积的和Ｓn近似等于n个小曲边梯形的面积的和，当n越来越大时，小矩形的面积就越来越接近于相应的曲边梯形的面积，当n趋向于无穷大时，如果Ｓn的极限存在，记作Ｓ，最后Ｓ就等于所有的小曲边梯形的面积的和了，那么就得到了曲边梯形的面积是Ｓ。这是从有限的曲边梯形的面积中找到无限个小矩形的面积，再从无限个小矩形的面积的无限变化中回归到曲边梯形的有限的面积的过程，体现了有限与无限、曲与直相互转化的辩证思想。因此，极限思想对于培养学生初步的辩证思维有所裨益。 3．极限思想的具体应用。 极限思想在小学数学中的应用和渗透，主要体现在以下几点。 (1)在数的认识中体会有限与无限的思想。小学生从一年级开始就认识自然数0，1，2，3，…同时知道每个自然数加1就等于它的后继数。到了认识亿以内的数时，进一步知道了最小的自然数是0，没有最大的自然数，自然数的个数是无限的。也就是说，任意给定一个足够大的自然数N，只需要把它加1就会得到一个更大的自然数N+1，N+1>N，所以总是找不到一个最大的自然数，从而体会到自然数数列的无限多和趋向无穷大。由此可以推广到奇数、偶数、一个数的倍数、两个数的公倍数等都没有最大的，都有无限多个。在学习分数的基本性质时，学生知道分母不同、分数值相等的分数有无限多个。在学习小数时，首先认识的是有限小数，然后认识无限循环小数，还知道圆周率是无限不循环小数。 （2）在数的计算中体会极限思想。小学数学学习的数的计算一般都是经过有限的几步计算就可以解决的问题，另外，作为知识的拓展，可适当介绍一些无限多个数相加的问题，如在数形结合思想中曾经介绍了无穷多个分数相加的问题，本文不再赘述。我国古代思想家庄子曾说过“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这句话可用下面的数学语言来描述“长度为单位1的线段，第一天取走全长的一半，以后每天取走剩下的一半，永远有剩余”，用无穷等比递缩数列的和来表示取走的长度，就是数形结合思想中的案例。另外，循环小数化分数的问题，也可以利用极限思想和数形结合思想来计算。 （3）在认识图形时渗透无限的思想。与自然数数列的趋向于无穷大类似，有些图形也具有无限长的特性，如直线、射线、角的边、平行线等，都具有无限延伸的特性，可以渗透无限的思想。 （4）在圆的面积、圆柱的体积的计算中渗透极限思想。 如上所述，在小学数学中，圆的面积不能象求长方形的面积那样直接利用公式计算、圆柱的体积不能象长方体那样直接利用公式计算，利用极限思想可以解决这些问题。如圆的面积的计算，先把圆平均分成若干等份，拼成近似的长方形，但它还不是长方形，仍然无法直接按照求长方形面积的方法来求；因为把一个圆不论进行怎样细小的有限次的分割拼补，都无法真正拼成一个长方形；这时只有借助极限思想，把圆分割的越细小所拼成的图形就越接近于长方形,可以这样无限地分下去，拼成的图形面积就越趋向于长方形的面积，最后通过取极限来得到它的面积。也就是说，极限思想是这样操作的理论基础和计算精确性的保证，也是极限思想在小学数学中最完美的体现。 4．极限思想的教学。 极限的概念是抽象的、辩证的，在教学中应注意下面的问题。 对有关极限的一些概念、教学要求和解题方法应准确把握。极限思想是用无限逼近的方式来研究数量的变化趋势的思想，这里要抓住两个关键语句：一个是变化的量是无穷多个，另一个是无限变化的量趋向于一个确定的常数，二者缺一不可。如自然数列是无限的，但是它趋向于无穷大，不趋向于一个确定的常数，因而自然数列没有极限。在教学中一方面要让学生体会无限，更重要的是通过具体案例让学生体会无限变化的量趋向于一个确定的常数。极限以及在此基础上定义的导数、定积分是解决用函数表达的现实问题的有力工具。有限与无限是辩证思维的一种体现，要辩证地看待二者的关系，不要用初等数学的“有限的”眼光看“无限的”问题，要用极限的思想看无限，极限方法是一种处理无限变化的量的变化趋势的有力工具。换句话说，当我们面对无限的问题时，就不要再用有限的观点来思考，要进入无限的状态，数学上就是这么一个规则和逻辑，我们按照这个规则和逻辑去做就可以了。 另外，对循环小数和无限不循环小数的理解和表示也体现了有限与无限的辩证关系。我们知道，在中学数学里一般用整数和分数来定义有理数，用无限不循环小数来定义无理数，有理数和无理数统称为实数。有理数包括整数、有限小数和循环小数。整数和有限小数化成分数是学生非常熟悉的，那么，循环小数怎样化成分数呢？我们以前曾经介绍过用方程的方法可以解决这一问题。下面我们再用极限的方法来解决。 案例：把循环小数0.999… 化成分数。 分析：0.999…是一个循环小数，也就是说，它的小数部分的位数有无限多个。对于小学生来说，能够接受的方法就是数形结合思想和极限思想的共同应用和渗透，通过构造一个直观的几何图形来描述极限思想。先看下面的数列 0.9, 0.09, 0.009, … 用数形结合的思想，把这个数列用线段构造如下：把一条长度是1的线段，先平均分成10份，取其中的9份；然后把剩下的1份再平均分成10份，取其中的9份…所有取走的线段的长度是 0.9＋0.09＋0.009＋…＝0.999… 如此无限地取下去，剩下的线段长度趋向于0,取走的长度趋向于1，根据极限思想，可得0.999…=1。 对于教师而言,光有极限思想的渗透是不够的，还需要进一步理解如何用极限方法来解决。这是一个无穷等比递缩数列的求和问题，根据公式可得 0.9＋0.09＋0.009＋…＝0.9÷（1-0.1）=1 所以0.999…=1。 也许有的老师会认为：无限循环小数的位数是无限的，和永远达不到1，永远小于1。这是一种错误的观念，是因为用有限的观点来看待无限造成的；这样的问题在数学上应该用极限的方法来解决，这是一个无穷等比递缩数列求和的问题，前n项的和(当n趋向于无穷大时)的极限为1，所以上面数列的和是1。这时有的老师可能又会认为：极限是1，数列的和是1，就是一定能取完。这种观点也只说对了一半，也就是说用极限1来作为数列的和是对的，但是原因说的不十分准确，如上所述，极限的概念里没有说变化的量最后是否一定达到1，只需要当n足够大时，与1的距离要多小就有多少就足够了。通俗地说，在数轴上，你可以先任意取一个很小的正数ε，针对这个ε，只要找到一个正整数Ｎ，Ｎ＋1以后的每一项都会落在区间(1－ε,1＋ε)里，也许这里的每一项与1还有一点点距离，但是已经不重要了，已经不影响极限的数学游戏规则了，也就是不影响数列的和的取值了。 通过这个例子进一步说明：极限方法只关注一个无限的变化过程的确定趋势是什么，只要趋势确定并且符合极限的定义，那么这个无限变化的过程的结果就用极限来表示，它就是一个解决问题的方法而已，只要符合极限的规则和逻辑，就可以用极限来表示无限变化的过程的结果，它并不关心这个无限变化的过程何时能到达极限，它在本质上不同于有限个数的和。 极限思想在小学数学中有一定的应用，但只是渗透而已，并不让学生认识相关概念。所以要注意对教学要求的准确把握，不要增加学生的学习负担。 十五、假设法 1．假设法的概念。 假设法是通过对数学问题的一些数据做适当的改变，然后根据题目的数量关系进行计算和推理，再根据计算所得数据与原数据的差异进行修正和还原，最后使原问题得到解决的思想方法。假设法是小学数学中比较常用的方法，实际上也是转化方法的一种。 2．假设法的重要意义。 假设法实际上是根据原来的数据、数量关系和逻辑关系，做一些数据的改变，把原问题转化成新的问题，而且新的问题易于理解和解决，是一种迂回战术，表面上看解题的步骤变多了，但实际上退一步海阔天空，更有利于计算和推理，有利于培养学生灵活的思维方式、解决问题的能力和推理能力。 3．假设法的具体应用。 假设法在小学数学中的应用比较普遍，例如在有关分数的实际问题，比和比例的实际问题，鸡兔同笼问题，逻辑推理问题，图形的周长、面积和体积等问题中都有应用。 4．假设法的教学。 假设法的教学，对学生的分析和综合能力、逻辑思维能力等方面的要求较高，在教学中应注意以下几点。 第一，根据题目的特点，选择适当的数据进行假设。在解决问题的过程中，如果遇到数量关系稍复杂的问题，要思考它与已掌握的什么知识有关系，用什么思想方法或者模型来解决，然后想方设法把它转化成数量关系明确而且易于理解的已有的知识。 案例1： (1) 六年级参加植树的男生和女生共有36人，其中男生人数是女生人数的3倍。男生和女生各有多少人？ (2) 六年级参加植树的男生和女生共有36人，其中男生人数的 分析：第(1)题，是学生非常熟悉的问题，男生人数与女生人数的数量关系非常清楚且易于理解，既可以用方程解决，也可以用一般的算术方法计算。第（2）题，数量关系与第（1）题有类似的地方，但又稍复杂，可看作是第（1）题的变型题。两个数量无法直接用一个未知数表示，因而无法直接用一元一次方程解决；如果用算术方法，可这样想：根据题中的条件可知，在不改变男生和女生的比例关系前提下，可假设男生有3人，那么3的三分之二是2，2除以2等于1，因而女生有1人，所以男生人数是女生的3倍。这样就把第（2）题转化成了第(1)题，再用算术方法列式计算便可。 案例2：小明和妈妈恰好花100元买了10本书，单价有8元一本的和13元一本的两种。其中8元一本的和13元一本的各买了几本？ 分析：假设10本书都是买的8元一本的，那么才花了80元，比实际少花20元。两种书的单价相差5元，20里有几个5，就得出13元的有几本。20÷(13-8)＝4，所以8元的买了6本，13元的买了4本。 第二，在数量之间具有一定的比例关系前提下，可假设其中的一个数量为单位“1”，可大大简化计算的繁琐程度。 案例3：足球比赛门票是20元一张，平均每场有5000名观众，降价后每场观众增加了50%，收入增加了20%，降价后门票的价格是多少？ 分析：首先要明确一个基本的数量关系式：观众人数×门票价格＝收入。先按照一般的解题思路分析，根据题意，要求的是降价后门票的价格，需要知道降价后的收入和观众人数。降价后的收入是：5000×20×(1+20%)＝120000（元）。降价后的观众人数是：5000×(1+50%)＝7500(人)。所以降价后的门票价格是：120000÷7500＝16(元)。实际上此题还可以用假设法，根据题意，降价后的人数和收入都是在原来的基础上分别按照一定比例变化，实际上观众人数是5000还是500并不影响计算的结果，因此只需要设观众人数为单位1就行。假设降价前的观众人数是1,则降价后的观众人数是1×(1+50%)=1.5, 降价前的收入是20×1,则降价后的收入是20×1×(1+20%)＝24,所以降价后的门票价格是：24÷1.5＝16(元)。 案例4：如下图所示，水池和菜地组成了一个正方形，水池和林地组成了一个长方形，重叠的部分是水池。水池的面积占长方形的
分析：因为水池的面积既与长方形有比例关系，也与正方形有比例关系，所以可设水池的面积为1,那么林地的面积为
后记： 本文是数学思想方法在小学数学中的应用和渗透的系列文章的最后一篇，当然，还有一些思想方法没有梳理。在这些文章的案例选取中，基本出发点是尽量少出现教材及练习册中常用的例子，就是想给老师和同学们多提供一些例子，拓宽知识面、更加有利于了解和掌握思想方法、有利于中小学的衔接。有的例子是在小学知识基础上的拓展和提高，有的是中学知识的简化，可能会有一些案例的难度高了点，希望老师在借鉴中把握好尺度。在撰写系列文章的过程中，参考了一些专家的著作和文章，因篇幅所限，不一一列举，在此一并表示谢意。 数学思想方法不同于一般的概念和技能，后者一般通过短期的训练便能掌握，数学思想方法的教学更应该是一个通过长期的渗透和影响才能够形成思想和方法的过程。最后，把笔者非常欣赏的杜甫的诗句“好雨知时节，当春乃发生。随风潜入夜，润物细无声…”送给老师们，希望数学思想方法的教学能够象春雨一样，滋润着学生的心田。 |
|
|
