给我印象深刻的一些数学思想

在研习数学的过程中，以及在生活中，我们总会碰到“比较数量”的问题。有时候，我们很容易给出答案，比如这一筐苹果与哪一篓橘子，哪个数量多？我们只需要数一数就能给出答案。但是还有很多时候，比如上述的3个问题，答案就不是掰着手指头数一数能搞定了。

那么我们在比较数量的时候，依靠的是什么样的原则呢？

• 比如问题1，直观上所有的偶数都是整数，但整数中的1、3、5等奇数则不是偶数，所以应该整数多；

• 比如问题2，直观上所有的自然数都是整数，但是0，以及负整数不是自然数，所有应该整数多；

• 比如问题3，直观上（0,1）内所有的数都包含在（0,2）内，而（0,2）内的1.5、1.6这些数则不在（0,1）内，所以（0,2）内的数多。

以上皆非。我们不能靠直觉判断问题。以上三个问题的答案，都是一样多。

为什么？

• 对于问题1，每一个整数，我们都能找到唯一一个偶数与之对应；每一个偶数，我们也都能找到唯一一个整数与之对应。即，两类数是一一对应的，所以一样多。比如：任意一个整数n，都有唯一一个偶数2n与之一一对应。反过来，任意一个偶数m，都有唯一一个整数m/2与之一一对应。

• 对于问题2，每一个整数n，如果n≥0，那么有唯一一个自然数2n与之一一对应；如果n＜0，那么有唯一一个自然数-2n-1与之一一对应。反之亦然。

• 对于问题3，区间（0,1）内任意一个数x，都有（0,2）内唯一一个数2x与之一一对应。反之亦然。

大家可以看到，从这些比较数量的问题中，体现的是一个朴素但很容易被我们漠视的数学思想，即通过一一对应来判断两类数的数量。如果在这类数中的每一个都能在另一类数中找到对应的数，并且这个对应关系是反之亦然的，那么这两类数就是相同数量的。

最后，补充两点：

1、如果0不算偶数，那么问题1的答案会变么，用来判断的对应关系又是什么？

2、问题4：区间（0,1）内的数与整数，哪个多？