正弦定理教学的再设计

MPCK视角下的高中数学定理教学

——以正弦定理教学的再设计为例

施小斌（浙江省台州市玉环中学）

沈新权（浙江省嘉兴市第一中学）

摘要：以正弦定理教学的再设计为例，探讨了基于MPCK的视角高中数学定理教学的4个切入点，提出了MPCK视角下的高中数学定理教学的建议．

关键词：MPCK；定理教学；正弦定理

一、MPCK理论

美国斯坦福大学教授、著名教育家舒尔曼（LeeS．Shulman）在1986年提出了教师的专业知识结构理论，其核心要素是学科教学内容知识（Pedagogical Content Knowledge），简称PCK【1】．香港中文大学黄毅英教授在此基础上则把数学教师从事专业教学所应具备的核心知识称为MPCK（Mathematics Pedagogical Content Knowledge）．MPCK是由数学学科知识（MK）、一般教学法知识（PK）、有关数学学习的知识（CK）以及教育技术知识（TK）融合而成的【2】．MPCK的本质是教师如何根据学习者的不同兴趣和能力来组织、表达和调整具体的课题、问题或论点，以促进他们对数学学习内容的理解和掌握知识【3】．

说得简单一点，MPCK就是数学内容和教育学、心理学与学习论的有关原理融合而成的与教学相关的综合性知识，是关于某一领域的数学教学内容该如何进行表达、呈现和解释，从而转化成使学生更容易接受和理解的知识．其核心就是如何将数学知识的学术形态转化为教育形态及学生的学习形态，以促进学生的数学理解、提高学生的数学能力和提升学生的数学素养【4】．MPCK理论是教师进行教学设计和课堂教学的基础，教师对教学内容的理解和把握程度，运用教学方法的适当程度以及课堂教学的效果如何很大程度上取决于教师的MPCK．

二、MPCK视角下的定理教学

数学定理是由受逻辑限制的证明，证明为真的陈述．数学定理是数学基础知识的主要内容，是进行数学推理的重要依据，也是解决数学问题以及培养学生进行推理论证的重要工具，因此数学定理的教学在高中数学教学中有着十分重要的地位．定理教学的成功与否不仅直接关系到学生对定理内容的理解与掌握程度，也直接关系到学生运用定理解决数学问题的能力，更关系到学生数学素养的养成与提高．在高中数学定理的教学设计中，教师可以运用MPCK理论来呈现定理的背景，突出定理的核心内容，体现定理的本质，以此来指导定理的教学，评估定理的教学过程和教学效果．

基于MPCK视角的高中数学定理教学，教师在进行教学设计时，应该思考学生为什么要学习这个定理？学生将要学习的数学定理的背景是什么？该定理的核心内容是什么？定理的作用是什么？学生在学习该定理时可能存在哪些学习困惑？如何解决学生学习中的困惑？在教学中如何呈现、组织和调整这些核心知识以及定理的应用？

三、正弦定理引入设计中存在的问题

在进行教学设计和课堂教学过程中，教师的数学学科知识（MK）、一般教学法知识（PK）、有关数学学习的知识（CK）和教育技术知识（TK）决定着教学设计的质量，若教师的MPCK中的某一方面有所不足，就会影响到其所作的教学设计的科学性，很多时候甚至会影响到课堂教学的效果．以正弦定理的引入为例，以往的关于正弦定理引入的教学设计中存在着以下三个方面的常见问题．

1.测量产生不了正弦定理

在众多的关于正弦定理的教学设计里，不少设计都提到了“用量角器、刻度尺、计算器，测量任意角三角形的三边与三角，然后计算比值猜想结论．”

角仪我们能否计算出点A，点B间的距离？

教师希望通过将此问题抽象为已知三角形中的两角及其夹边，求另一边的解三角形问题，从而引入正弦定理．先不要说学生是否知道测角仪长什么样？有什么用？就算从问题解决的角度来说，不用正弦定理，通过作直角三角形也能解决此问题．情境问题只是数学来源于生活，来源于实际的一个铺垫，因此，这样的引入不够自然，有点牵强附会．其实在数学史上，正弦定理的发现是源于阿拉伯数学家阿尔·巴塔尼在进行球面三角研究过程中，利用平面三角的知识来证明球面余弦定理所产生的问题，后来他将问题转化为求直角三角形来求解，但当时阿尔·巴塔尼并不知道平面三角形的正弦定理．后来德国数学家雷格蒙塔努斯在1464 年出版的著作《论各种三角形》中才对正弦定理的内容十分清晰地加以表达.换句话说，正弦定理的发现其实就是从直角三角形中得来的，上述的教学情境与正弦定理的产生没有本质上的联系．

3.空降的开头不能引起学生探究正弦定理的兴趣

既然过度的包装不能完整地体现正弦定理的发现之旅，有些教学设计就直接开门见山．从直角三角形的边角关系出发得出正弦定理的一般形式就是一种非常盛行的教学设计.假设Rt

【设计意图】从特殊的三角形开始探索，体现了由特殊到一般的数学思想方法，这也能重现数学史上正弦定理发现与提出的轨迹.有了环节2的两个问题的解决方法，对于完成第二个问题则是水到渠成的事情．MPCK视角下的定理的教学设计，切忌将结论直截了当地告诉学生.

环节4：利用正弦定理再来解决环节2中的两个问题.

【设计意图】利用得到的正弦定理，对于环节2的两个问题可以直接求出AC的长，省去了添加辅助线的过程，让学生感受到正弦定理的简洁性，可以突出正弦定理在解决三角形边角关系问题时的应用价值．

环节5：对正弦定理的进一步理解。

从MK的角度分析，教师应具备深厚且系统的数学学科知识，能够熟悉所教的数学定理的背景和核心内容以及与其他一些相关定理之间的联系，并且熟练掌握用所教的定理可以解决和如何解决哪些数学问题或者实际问题等，这是把定理的学术形态转化为教育形态的前提，也是教好数学定理的必要条件．因此，站在MK的角度，教师在进行正弦定理的教学前，首先应该要思考并在教学中渗透这样的问题：为什么要解斜三角形？解斜三角形必须要用正弦定理和余弦定理吗？正弦定理和余弦定理是怎样发现的？其证明方法是怎样想到的？还有别的证法吗？这些都是教材没有回答，而学生又确实关心的问题，通过这些问题帮助学生理解正弦定理的内涵和外延，为讲深及讲透正弦定理作好铺垫与准备．环节1中的两个问题涉及到边边关系、角角关系和边角关系，是学生已有的关于三角形边角关系的知识基础，正弦定理正是“大边对大角，小边对小角”这一结论的定量化描述，也是Rt△ABC中，

从CK的角度分析，教师要尽可能多地深入以及了解学生，除了要了解学生对与定理相关的数学知识的知识基础及掌握情况外，还要关注学生的心理特征和学习差异，预测学生在学习定理时可能遇到的知识和思维障碍．因此，正弦定理的再设计立足于学生的知识基础和思维起点，我们根据学生的知识基础并借助特殊情形，在环节1和环节2中，通过教师的引导，学生的自主探索，初步提炼出了正弦定理的本质属性，实现由表象过渡到定理，逐步完成了定理的构建，在这个过程中，学生成为了正弦定理的发现者和创造者．统揽正弦定理的教学再设计，我们可以看到正弦定理的教学不只是在传授知识和技能上下功夫，更重要的是在此过程中，培养了学生观察和分析、归纳和猜想、特殊和一般等思维能力．

从TK的角度分析，教师要根据所教的定理内容，合理运用现代教育技术，辅助定理的教学．因此，在再设计时，通过环节5，我们借助几何画板软件展示当△ABC的一条边BC的大小和位置固定，BC所对的∠

也不变，此时△ABC是不是会发生变化？点A运动轨迹是什么？以此可以与学生一起比较直观的探索正弦定理中的比值与三角形的哪个量有关，从而发现正弦定理中的R，加深学生对正弦定理本质的理解．

在正弦定理教学的再设计中，我们运用MPCK理论，通过引导学生进行旧知识的复习，为学生提供了探究三角形边角关系的思维基础，再利用特例探索、归纳发现、从特殊到一般的思想方法，使学生经历了正弦定理的再创造过程，这样的教学设计在一定程度上体现了知识在学科思维内部的生长过程．运用MPCK理论，我们还设计了运用信息技术辅助正弦定理的教学，信息技术的恰当运用可以让学生在直观以及动态过程中感受正弦定理，从而更能够抓住正弦定理的本质．当然，正弦定理的教学不是一节课就能够完成的，学生对正弦定理的深刻理解以及运用还需要在今后的教学中不断的加以完善和补充．例如，在今后的教学中，我们还要引导学生探索正弦定理与余弦定理之间的联系。例如，利用正弦定理能不能得到余弦定理？而如果我们有了余弦定理，又能不能证明正弦定理？以此引导学生从更高的角度来看待正弦定理和余弦定理，使其形成对正弦定理和余弦定理脉络清晰的知识结构．这也是定理教学中的一种螺旋式上升．

五、总结

深化普通高中课程改革是大势所趋，高中数学教学在其中的作用不言而喻，而高中数学新课程改革所倡导的以学生的学习为中心来组织教学，数学教学内容要追求精简化、直观化和本质化，数学教学方法要具有灵活性和多样性等理念正是MPCK内涵的直接体现．所以，MPCK 理论不仅对于高中数学的定理教学有着直接的理论指导，对于高中数学教学中的概念、公式教学乃至习题教学和教师的专业成长也都有着积极的促进作用．

参考文献：

[1]Shulman.L.S. Knowledge and Teaching: Foundations of the New Reform[J]. Harvard Educational Review, 1987, 57(1)：1-22.

[2]黄毅英，许世红．数学教学内容知识:结构特征与研发举例[J]．数学教育学报，2009，18（1）：5-9．

[3]童莉．数学教师专业发展的新视角:数学教学内容知识（MPCK）[J]．数学教育学报，2010，19（2）：23-26．

[4] 李渺，宁连华．数学教学内容知识（MPCK）的构成成分表现形式及其意义 [J]．数学教育学报，2011，20（2）：10-14．