1,2,4,8,16……数列的下一项是什么?【引子】小时候,有一类数学题总是让我们抓狂,这类题目叫做「找规律填数」。这类题之所以让人觉得困难,是因为题目常常稀奇古怪,让我们猜不到出题者的意图。 比如,随便给你出两道题:
你会做吗?[注1] 好了,先把这种奇奇怪怪的题目搁一边,我来给你出一道看起来「正常」一点的题目:
相信看了这道题,你会会心一笑:这题简单,2 的幂我都背过很多遍了,下一项显然是 32。 可是,谁告诉你这就一定是一个等比数列呢?为什么不能是由 多项式 组成的数列? 【1】用多项式方程解数列通项如果你学过初中数学,你一定知道,两个点可以确定一条直线,三个不共线的点可以确定一条抛物线;如果你又在大学里学过一点线性代数,你也一定知道,在大多数情况下,平面上的 n 个点可以用一个 n-1 次函数准确地拟合出来。[注2] 那么,针对 1,2,4,8,16…… 这个数列,我们已经有了 5 项,于是我们可以用一个 4 次函数来拟合,即: 带入 x = 1,2,3,4,5 的情形,我们有: 这是一个四元一次方程,用传统的消元法不太好解,用 克莱姆法则 解方程组运算会更通用一点,最后得到的解是: 。 于是数列的通项公式是: 在这个通项公式下,数列的第 6 项当然就不是 32 了,它是 —— 31。 这不禁让人觉得有些诡异,主要有两点:① 在系数都不是整数的情况下,第 6 项竟然还是一个整数;② 这个整数距离 2 的 5 次幂竟然只差了 1。 【2】拉格朗日插值法上面我们用解方程的方法推出了数列的第 6 项,但要涉及高阶的行列式运算,不免有些麻烦,其实,还有一种更为直观的方法,叫做 拉格朗日插值法。 拉格朗日插值法的表达式是:
这么看公式可能不太直观。稍微解释一下:从式 ① 中我们可以发现,对于我们已经有对应值的 ,当 j = i 时, ;当 j ≠ i 时, 。这个性质使得当 i = 1,2,……,n 时, 都能成立,故式 ② 也成立。 现在我们已经知道了 ,带入式 ① 再带入式 ②, 这样我们同样得到了数列的通项公式,而且实际上我们可以不用合并同类项,从而规避复杂的行列式计算,使结果更加直观。 拉格朗日插值法告诉我们一个道理:如果我们设定 n=6,无论 f(6) 等于多少,我们都可以迅速得到通项公式(最高为 5 次),所以,理论上来说,如果不限定多项式的最高次幂,数列的第 6 项可以是任何数!不过,如果限定多项式的最高为 4 次,那么数列的第 6 项则是确定的,那就是 31。 【3】数列在几何中的现实意义看到这里,你也许会有疑问:文章极力说明数列 1,2,4,8,16,…… 的第 6 项其实可以是 31, 但文章也提到,如果不限定多项式的幂,数列的第 6 项可以是任何数,那么,第 6 项是 31 的现实意义是什么呢? 有意义的。因为昨天我收到了这样一封私信: 问题很简单:圆上的 n 个点两两相连,最多可以把圆分成几个部分? 显然 n 为 1~5 的时候,答案分别是 1,2,4,8,16: 看起来,n=6 的时候,应该是 32 个部分才对,但实际上并不是。 该怎么解这个问题呢?我的解法是这样的:
综上,对于 n 个圆上的点,圆最多可以被分成的部分数为: 这个答案和之前那个数列的通项公式一模一样! 所以,n=6 时,答案显然就是 31 了。 这是巧合吗?不,当多项式的前 5 项是 1,2,4,8,16 并且最高次数为 4 时,这个结果已经被注定啦! [注3] ———————————— 注释: [1] 这两道数列题的答案分别是 52 和 06;第一道:将数列每一项的数字逆序写,是完全平方数;第二道:倒过来看这些数字,分别是 88~92。 [2] 平面上的 n 个点可以用一个 n-1 次函数准确地拟合出来的充要条件是:它的系数矩阵是满秩的。 [3] 这个数列被 OEIS 收录,参见:A000127 - OEIS。 「真诚赞赏,手留余香」 还没有人赞赏,快来当第一个赞赏的人吧! |
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