小学的奥数题中,最令人头疼的题型无非是找规律了,各种毫无规律的数列。你可以试试下面的例子: 其实一直以来,我也一直很疑惑有没有什么找规律的秒杀解。就像小学的挠破头都解不了的应用题,到了中学以连数学不及格的人都可以轻而易举地列个方程解掉。直到看到了一个帖子两个网友的对话: @Talentedpope :哦,设一个8次多项式,待定系数法,结束了。。。 等等,拉格朗日插值,我学过。等等?这货居然可以这么用!? 好吧,作为面向小学生以及其父母的方法,我觉得有义务要详细解释一下什么叫做拉格朗日插值法。 首先,这个方法为什么叫做拉格朗日插值法呢?一是因为拉格朗日“提出”了这种方法(其实拉格朗日并不是第一个提出的,只是因为他名气比较大,很多人都是因为他才了解到这个方法),所以有“拉格朗日”。 那为什么叫做“插值法”呢? 好吧……所谓的插值,就是“插”“值”,就是指找出一个通过给出离散数据点的函数(好吧,好吧,我知道小学生不懂函数和离散)。那么,数列中给出数据可以表示为在坐标系上的点,x坐标就是第几项,y坐标就是该项的值。 比如说,“1 ,3, 7, 8, 0, 5, 9, 2, 4, 6”这个数列可以表示为: 在Mathematica中用几行简单的代码即可做到: 接下来,我们找出这些点都在哪一个函数上面,接着下来把下一项的项数带进去,就得到了下一项的值——这实际上就是通项公式! 事不宜迟,马上来试一试! 首先,我们先来看看拉格朗日插值公式是怎么样的:
那下面我们先试一一个简单的数列:1、8、27…那下一个是什么呢? 首先,这表示存在一个函数。当自变量分别为1、2、3时函数值为1、8、27。于是我们可以设一个函数: 接下来就是关键的一步了!小学生可以不懂这是怎么回事。但有什么问题?考试会用就行了(如果你不介意再解释一下一些其他的问题...比如未知数、自变量和分数的运算)。
于是,一个通项公式就出来了。是 于是我们迫不及待地把x=4带进去,得到58. 至此,大功告成。 等等,什么答案写着是64?别管了,肯定是盗版书印错答案了。有什么可能拉格朗日大牛会错呢? 什么,我们的规律不对?正确的是y=x^3?好的,让我看看。嗯…难道是拉格朗日错了?但是前面我们的估算也是没问题的啊。 再仔细看一下坑爹的高数课本,才发现原来是我们一直搞错了。如果我们给的是n个点,那么拉格朗日给出的函数将会是(n-1)次的。 这不坑爹吗…用公式之前还得想清楚这个函数是几次的,而且如果是更高次数的还没办法加上点去求(更别说斐波那契数列这样的用递归定义的数列了)。 这就意味着,就算是1、2、3、4、5、6…这样的数列,拉格朗日插值法在耗尽你大量的考试时间去求出通项公式以后,还会给出一个超级坑爹的答案! 那么这个方法还有什么用! 别急,前面的计算都是为后面做铺垫的。现在才是主要内容。 无论是分布得多么奇怪的点,拉格朗日插值法总能给出一条经过这些点的函数图象。也就是说,就算是1、2、3、4、5、6、(1568)这样明显不靠谱的答案也是“有规律的”。因为你总可以设一个六次多项式,找出这个数列的通项公式。 如果老师斗胆把你的答案批错的话,你大可以把这篇文章打印出来,然后跟老师说:“这个空填任何数都是可以的,因为你总可以设一个n次多项式,然后……” (我承认这是伪科普,真娱乐....) |
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