【原】插值与拉格朗日插值多项式

插值

在数值计算中，有时会用到插值运算，也就是在知道一系列离散点的坐标的情况下，希望找到一个函数满足其图像经过这些所有的离散点。

插值常用于近似计算。例如，像三角函数这样的超越函数的值通常不容易计算，而多项式函数的值则更容易计算。因此，若知道三角函数在某几个特殊点的值，可以找一个系数待定的多项式代入这几个点的值解出系数，然后就能用求出系数的多项式近似计算其他自变量处的三角函数值。在自然科学中，通过实验通常只能获取某些特定条件下的物理量，这时可以通过插值近似估算其他条件下相应物理量的值。也可以用简单函数插值的方法近似计算复杂函数的积分。当某些计算对数据点的数量有要求时，若数据点不够还可以通过插值来增加。

拉格朗日插值多项式

插值可选用的函数并不唯一，不过多项式函数是比较常用的一种，而且用多项式函数插值时参数容易求解，或者说插值多项式容易计算出来。通常，对n+1个点(x₀,f(x₀)),(x₁,f(x₁)),(x2,f(x₂)),…,(x_n,f(x_n))会采用一个n次多项式p_n(x)进行插值。此时，插值多项式是唯一的，但其形式并不唯一。比较常见的一种形式是拉格朗日插值多项式，即

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拉格朗日插值多项式与泰勒多项式的比较

虽然用泰勒多项式(泰勒中值定理)也是用多项式逼近函数，但是泰勒多项式是用一点处的函数值和各阶导数求出多项式函数，当估算该点附近较近处的值时，泰勒多项式计算结果往往有较高的精度，但精度会随着自变量远离该点而急剧变差。相反，拉格朗日插值多项式在插值点附近给出的估算值的精度往往没有泰勒多项式给出的高，但用它估算远离插值点但又位于两插值点之间的自变量的函数值时精度往往比泰勒多项式高。此外泰勒多项式中涉及到的求高阶导数值往往是比较麻烦的。