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注：今日更新第二部分B样条插值和第三部分插值多项式与数值积分，明天更新第四、五部分，本章更新结束。
上一节我们谈到，如果诸算符都能在某组基下表示为带状矩阵，那么离散化后的线性代数问题便是易于求解的。矩阵为带状意味着只有指标上相接近的基函数才会有交叠，那么我们自然会想到分段函数：每个基函数只在某一段区间内非零，该区间随基函数指标的变化单调的挪动。那么计算矩阵元时，自然只有非零区间有交叠的，即相邻基函数的积分非零。我们给出略明确的讨论：考虑一维节点
边界点这里暂不考虑。最简单的基函数自然是分段常数函数
其交叠矩阵很容易算出
 但是对于这种存在函数值不连续的基函数，可以论证导数算符矩阵不会是反对称的，二阶导数矩阵元是会发散的，那肯定要不得。所以说咱要引入更高阶的基函数
可以看出，这个函数在 处被压成了 ，在 的前后都调成了 。这样函数的连续性就被保证了。可以论证交叠矩阵、导数矩阵、二阶导数矩阵等等都是三对角的，那么其便是可用的基函数了。 基函数这样的基函数，尽管简单，但是用其来反映真实的波函数总略显粗糙，我们需要更高阶的基函数。考虑由如下递推公式(Cox-de Boor recursion formula)所得到的函数组
容易看出，满足：- 在上恒大于零且小于等于一
- 为分段次多项式
同时也可以归纳证明其在全区间上次连续可微。其被称为B样条(basic spline)函数。一致有界保证了基函数不会出现病态性质（病态的一个典型例子是Runge 现象）；仅在有限区域非零保证了各种算符都是宽度为的带状矩阵；为分段多项式，这让多数算符的矩阵元都能简单的计算；高阶连续可微保证了足够高的离散精度。总而言之，B样条是非常优秀的一类基函数。B样条函数不仅在求解偏微分方程时可以作为优秀的基函数，其在函数内插方面的优势也使其广泛用于计算机图形学等领域。我们暂且先跑点题，讨论一下插值多项式。拉格朗日插值公式，常被誉为找规律填数字题目的终结者，读者可以参考这些内容：【科普】Lagrange插值公式（找规律大杀器）找规律的数列问题真的没有任何意义吗？- 数学三年级数学填空题1、9、_、24、36_、_、56、_、_？- 趣味数学对于一个定义在区间上的任意函数，我们希望通过一个阶多项式来近似表达它。这个多项式就被称为该函数的插值多项式。具体的，若我们希望这个多项式当变量取时与原函数完全相等，我们有且只有唯一的选择
其中称为拉格朗日基函数，这个形式的插值多项式被称为拉格朗日插值多项式，容易验证其正确性，而唯一性可以简单的通过线性代数的一些结论得到。相应的还有牛顿插值多项式，尽管两者写法不同，但实质是等价的。称为相应基函数的权值。这样我们就将积分近似化作了一个有限的求和。考虑到阶多项式插值的唯一性，则阶以下的多项式函数的插值多项式必是自身，故积分近似值与真值的差只可能是次及以上幂所造成的，简单的分析（在对原函数的泰勒展开是可行的前提下）
得知，差值大约是的级别。这样精度被称为次代数精度。通过恰当选取节点，最高可以将点求和替代积分提高至阶精度。事实上，令为不高于次的多项式，并引入
其中都是不超过阶的多项式，于是
如果对于任何不超过次的多项式都有
则近似积分公式对任何不超过次的多项式严格成立。而上式很容易通过上关于正定权函数的正交多项式系实现：
故的个零点就可以作为求积公式所用的个节点。这样的近似积分被称为 Gauss 求积公式。特别的，对于区间取做，权函数取做1时，这里的正交多项式就是勒让德多项式。题图摘自维基Gaussian quadrature ，为两点 Gauss 公式远优于两点梯形公式的一个例子。
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