现值、终值、复利、年金和实际利率

蜂言 2018-01-31

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我们很多时候需要自己计算实际利率，但会计老师没有解释怎样计算这个实际利率问题，每次涉及计算利率老师都只是说“用插值法来计算，怎么计算是你们财务成本管理课的问题”，然后就直接得出结果了，但我总不能先学完财务成本管理再学会计吧？

经过Google后，终于理解了计算的方法和道理，但在计算实际利率之前，我们要知道一些基本知识，分别是现值、终值、年金和折现系数。

现值和终值：

现值（Present Value，简称P）和终值（Future Value，简称F）

假如我现在有100元存入银行，利率（Rate,简称R）为10%，那么一年后我能拿出多少钱？两年后呢？

用陈华亭老师（已病逝，默哀）经典的图来解释就显得非常直观了：

复利

我们现在有100元，那么现值（Present Value，简称P）就是100，未来一年后的金额（future value）F1为本金（100）+利息（100*10%），因为是复利计算，所以未来两年后本金+利息为100+100*10%+100*10%....

我们提取公因式得：

一年后我们得到100×（1+10%）

两年后：100×（1+10%）（1+10%）=100×(1+10%)²

N年后：F=100× (1+r)ⁿ

所谓的利滚利

由此，我们可以得到一个公式：F=P×（1+r）ⁿ

这个公式是知道现值，求终值的公式。那么知道终值求现值呢？

可以用简单的移项，将F移到右边，P移到左边，得出：

已知终值求现值

也可以写成（P/F, r ,n）←我们称其为复利折现系数。

在学会了什么是复利（compound interest）后，我们还得知道什么叫年金和年金折现系数，因为在求实际利率时，我们将会用到这些东西。

年金和折现系数：

假设我们买了一份5年期面值为100的等额债券，每年债券利息为1%，分期付息，到期还本。

值得注意的是，这里并不是复利计算，就是说我们每年利息是铁打不动的1元。我们称这时间等间距（都隔一年或一个月一个季度）、等额（每年都是1元）的现金流入为年金，当然也可以是每月等间距等额收入，但也是称为年金（Annuity），我们简称其为A。

由于这些年金每年都有的，则有：

将A折现到P点

已知年金求现值

我们还有另一个写法（P/A, r,n）,我们称之为年金折现系数。

那么我们怎样求实际利率？插值法。

接着我们用一条练习题来做示范：

【例题2·综合题】2011年1月1日，甲公司支付价款4 000万元（含交易费用）从上海证券交易所购入A公司同日发行的5年期公司债券，面值5 000万元，票面利率4.72%，到期一次还本付息，且利息不是以复利计算。甲公司有意图和能力持有至到期。已知：（P/F，10%，5）＝0.6209，（P/A，10%，5）＝3.7908，（P/F, 9%, 5）=0.6499

第一，我们知道注意这是“分期付息到期还本”，还是“到期一次还本息”的债券，这道题是“到期一次还本息”的债券，所以要注意分录科目、使用年金折现系数还是复利折现系数。

第二，我们知道这是“到期一次还本息”的债券，所以我们用的科目是“持有至到期投资——应计利息”，使用的系数是复利折现系数来折现。

第三，由于我们是到期一次拿到本息的，所以在这个过程中每年是没有现金流量。最终一次性拿到每年的利息和本金。

第四，注意配比关系。

1.当实际利率为r时，我们的现值是（236×5＋5 000）×（P/F，r，5）＝4 000　　当r＝9%时，债券现值为（236×5＋5 000）×0.6499＝4 016.382，计算出来的现值高于我们预期值4000，所以这个9%小于实际的R，我们继续尝试使用（P/F，10%，5）＝0.6209。　　当r＝10%时，（236×5＋5 000）×0.6209＝3837.162，折现出来的值比预期值小，利率越大，折现越小，那么表明实际利率r在9%-10%之间，那么直接用平均值9.5行不行？当然不行，说好的插值法呢，所以继续用插值法来求这个实际值吧。

所谓的插值法，就如下列式子所示，使等式左右相等：