【天天阿尔法】探索性因子分析

导读：

EFA的目标是通过发掘隐藏在数据下的一组较少的、更为基本的无法观测的变量，来解释一组可观测变量的相关性。这些虚拟的、无法观测的变量称作因子。（每个因子被认为可解释多个观测变量间共有的方差，因此准确来说，它们应该称作公共因子。）

探索性因子分析

模型的形式为：

其中Xi是第i个可观测变量（i = 1…k）， Fj是公共因子（j = 1…p），并且p<k。 Ui是Xi变量独有的部分（无法被公共因子解释）。 ai可认为是每个因子对复合而成的可观测变量的贡献值。回到本章开头的Harman74.cor的例子，我们认为每个个体在24个心理学测验上的观测得分，是根据四个潜在心理学因素的加权能力值组合而成。

虽然PCA和EFA存在差异，但是它们的许多分析步骤都是相似的。为阐述EFA的分析过程，我们用它来对六个心理学测验间的相关性进行分析。 112个人参与了六个测验，包括非语言的普通智力测验（general）、画图测验（picture）、积木图案测验（blocks）、迷津测验（maze）、阅读测验（reading）和词汇测验（vocab） 。我们如何用一组较少的、潜在的心理学因素来解释参与者的测验得分呢？

数据集ability.cov提供了变量的协方差矩阵，你可用cov2cor()函数将其转化为相关系数矩阵。数据集没有缺失值。

因为要寻求用来解释数据的潜在结构，可使用EFA方法。与使用PCA相同，下一步工作为判断需要提取几个因子。

判断需提取的公共因子数

用fa.parallel()函数可判断需提取的因子数：

结果见图14-4。注意，代码中使用了fa = "both"，因子图形将会同时展示主成分和公共因子分析的结果。

图形中有几个值得注意的地方。如果使用PCA方法，你可能会选择一个成分（碎石检验和平行分析）或者两个成分（特征值大于1）。当摇摆不定时，高估因子数通常比低估因子数的结果好，因为高估因子数一般较少曲解“真实”情况。观察EFA的结果，显然需提取两个因子。碎石检验的前两个特征值（三角形）都在拐角处之上，并且大于基于100次模拟数据矩阵的特征值均值。对于EFA， Kaiser-Harris准则的特征值数大于0，而不是1。（大部分人都没有意识到这一点。）图形中该准则也建议选择两个因子。

提取公共因子

现在你决定提取两个因子，可以使用fa()函数获得相应的结果。 fa()函数的格式如下：

其中：

 r是相关系数矩阵或者原始数据矩阵；

 nfactors设定提取的因子数（默认为1）；

 n.obs是观测数（输入相关系数矩阵时需要填写）；

 rotate设定旋转的方法（默认互变异数最小法）；

 scores设定是否计算因子得分（默认不计算）；

 fm设定因子化方法（默认极小残差法）。

与PCA不同，提取公共因子的方法很多，包括最大似然法（ml） 、主轴迭代法（pa） 、加权最小二乘法（wls）、广义加权最小二乘法（gls）和最小残差法（minres）。统计学家青睐使用最大似然法，因为它有良好的统计性质。不过有时候最大似然法不会收敛，此时使用主轴迭代法效果会很好。欲了解更多提取公共因子的方法，可参阅Mulaik（2009）和Corsuch（1983）。

本例使用主轴迭代法（fm = "pa"）提取未旋转的因子。结果见代码清单14-6。

可以看到，两个因子解释了六个心理学测验60%的方差。不过因子载荷阵的意义并不太好解释，此时使用因子旋转将有助于因子的解释。

14.3.3 因子旋转

你可以使用正交旋转或者斜交旋转来旋转14.3.4节中两个因子的结果。现在我们同时尝试下两种方法，看看它们的异同。首先使用正交旋转（见代码清单14-7）。

结果显示因子变得更好解释了。阅读和词汇在第一因子上载荷较大，画图、积木图案和迷宫在第二因子上载荷较大，非语言的普通智力测量在两个因子上载荷较为平均，这表明存在一个语言智力因子和一个非语言智力因子。

使用正交旋转将人为地强制两个因子不相关。如果想允许两个因子相关该怎么办呢？此时可以使用斜交转轴法，比如promax（见代码清单14-8）。

根据以上结果，你可以看出正交旋转和斜交旋转的不同之处。对于正交旋转，因子分析的重点在于因子结构矩阵（变量与因子的相关系数），而对于斜交旋转，因子分析会考虑三个矩阵：

因子结构矩阵、因子模式矩阵和因子关联矩阵。

因子模式矩阵即标准化的回归系数矩阵。它列出了因子预测变量的权重。 因子关联矩阵即因子相关系数矩阵。

在代码清单14-8中， PA1和PA2栏中的值组成了因子模式矩阵。它们是标准化的回归系数，而不是相关系数。注意，矩阵的列仍用来对因子进行命名（虽然此处存在一些争论）。你同样可以得到一个语言因子和一个非语言因子。

因子关联矩阵显示两个因子的相关系数为0.57，相关性很大。如果因子间的关联性很低，你可能需要重新使用正交旋转来简化问题。

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