|
本文用Hilbert空间的语言解释要求的微分算符（微分方程） 和力学量（量子力学）的问题。 也许你已经期待下篇良久了吧。否则你可以先回顾上篇。再否则，看看本文的手绘大概也挺有趣的。 当然，理解本文不需要纠结于个别定理或章节。 仍然先将结论展示如下： 【定理0】 给定Hilbert空间上： (1)函数可用某一微分算符的本征函数展开（微分方程情形） 或 (2)某一算符是力学量（量子力学情形） 的充分条件是，此算符是厄米算符，且满足以下3个条件中的任一个： (1)是紧算符 (2)逆为紧算符[注] (3)存在 子空间列 上的力学量列 s.t. B_k “趋于”此算符，且V_k“趋于”原Hilbert空间 [注]或模掉一个有限维子空间后的逆。一个有限维的核空间(Kernal)是无关紧要的，因为我们可以把它与它的正交补分别讨论，而有限维总是简单的。 上篇搭了数学框架，包括以下概念： -内积，距离，长度，正交 -Hilbert空间 -厄米算符 -标准正交基 -有界算符 -列紧集，紧集 为方便论述，先将3个典型的Hilbert空间列举如下：  在下文，我们主要目的是利用已有的数学框架解释物理问题。 目录 下篇 -7.紧算符与力学量 -8.连续谱的力学量 -9.多维情形 结论、参考文献、致谢 7.紧算符与力学量 （1)紧算符  【定义5.4.3】像空间有限维的算符称为有限秩算符，记为F(H) [注]有限秩算符都是紧算符   此处我们可以看出，如果Sturm-Liouville型方程有Green函数解，且Green函数平方可积（未证明），则命题4成立。在本节的后面部分，我们将用另一种方法证明此命题。 (2)紧算符与空间    参考书中的证明过程：首先证明紧算符一定有本征值，余下的部分与有限维的情形大同小异。 注意推论相当于强收敛。实际我们需要的就是这种强收敛。也即这样就证明了：(i)紧厄米算符是力学量 互逆的算符有相同的本征矢，且本征值互为倒数。因此(ii)紧厄米算符的逆是力学量 （注意厄米算符的逆一定是厄米算符；紧算符的逆一定无界） (3)应用   【例6(iii)】包括了有限区间的大部分哈密顿量，故已经解决了量子力学的一大类问题。 然而，无限区间的情况并不相同。事实上，紧厄米算符的逆若有可数无穷个本征值，本征值一定趋于无穷（或者说，有绝对值大于任意正实数的本征值）。然而，在3维无穷空间的氢原子的本征能量(-1/n^2)趋于0，这说明【例6(iii)】的论断一定不适用。这个问题要在下一节解释了“箱归一化”后再讨论。 8.连续谱的力学量 (1)用“极限”解释 上文没有讨论坐标算符x，和无穷区间的动量算符p（只要有一些合理的限定，它们都是厄米算符）。事实上，严格地说，它们并没有本征函数：  需要指出，这些函数不可能通过空间内的函数的极限得到，因为Hilbert空间是完备的，所有极限都在空间内。 然而，量子力学中要求坐标和动量都是力学量，即通常所称的“连续谱的力学量”（叫这个名字是因为本征值是连续取值的，实际上基本上是全体实数）。我们可以用数学上不甚严格，但物理上可以接受的方法给这类力学量以说明。这就是【定理0】的看似有些怪异的条件(3).  我们可以将这2个例子稍加概括和推广，即为【定理0】的表述：存在 子空间列 上的力学量列 s.t. B_k “趋于”此算符，且V_k“趋于”原Hilbert空间 则子空间列的“极限”也是类似强收敛。这种收敛方式对于物理问题来说足够了。 此处只是给“极限”一种数学的说明，物理上也可以用其他方式解释，甚至只有直观解释也可以。 某种意义上说，连续谱的力学量可以就按上述趋近理解，【例8】写的物理意义看起来似乎挺对的。 另一个连续谱的力学量的例子： 至此，我们已对大部分微分算符和力学量作了说明。 (2)无穷区间 在此，我们要回到上节提出的无穷区间（包括氢原子）的问题。 在无穷区间，动量算符p，动能算符p^2不是紧算符的逆，而且没有本征函数。此外，根据氢原子的能级，如果氢原子的所有能量本征态构成标准正交基，可以证明，氢原子的哈密顿量算符H一定是紧算符。这不能用我们之前的结论解释。 如果采取“箱归一化”，即用很大、周期性边条件的区间趋近无穷区间，则平面波也是允许态。换言之，量子态不再局限于“束缚态”，所谓“散射态”也要考虑。p, p^2都是紧算符的逆。在此条件下，氢原子的能量本征态必将不同。还需指出，氢原子的势能V(r)=-1/r不是平方可积函数。 无穷区间的哈密顿量的性质是怎样的？能不能与我们之前的论断相容？这些问题我目前仍未解决。我期待有人能告诉我如何解决这些问题。 9.多维情形 从数学结构的角度看，多维函数与一维（单变量）函数没有本质区别。此外，有一种常用方法将偏微分方程问题转化为数个常微分方程问题，即分离变量法： 采用这样的过程，就把含x的方程和含y的方程“分离”了。也可采用其他坐标，比如极坐标，这样得到的方程具有不同的形式。 我们可以用一些数学技巧解释分离变量法的合理性。这部分的数学可参考[2]。 换言之，一般可以用分离变量法找到二维函数的一组基，因此把待定函数写成这组基的级数是合理的。原则上，变量（坐标）的选取有很大的任意性。 虽然这里用的是“力学量”一词，但容易将其换为其他情形（如微分方程）的语言。 类似的说明可以简单地推广到更高维。 此处是先有方法，后找数学说明，因此张量积等数学技巧的运用都是以分离变量法为基础构造的。注意此处的说明不一定是唯一的，也不一定是必要的。 总结 此处，重新将结论叙述如下： 【定理0】 给定Hilbert空间上： (1)函数可用某一微分算符的本征函数展开（微分方程情形） 或 (2)某一算符是力学量（量子力学情形） 的充分条件是，此算符是厄米算符，且满足以下3个条件中的任一个： (1)是紧算符 (2)逆为紧算符[注] (3)存在 子空间列 上的力学量列 s.t. B_k “趋于”此算符，且V_k“趋于”原Hilbert空间 [注]或模掉一个有限维子空间后的逆。 这一结论适用于相当多的情形，包括以下几类： (i)积分方程的本征值问题 (ii)有限区间的Sturm-Liouville型本征值问题 (iii)有限区间上的哈密顿量算符 (iv)x,p等连续谱的力学量 同时，仍有一些问题没有解决，比如氢原子的哈密顿量等无穷区间的力学量。 总之，本文较完整地补充了 大多数《数学物理方法》《量子力学》的课本 省略的步骤。 参考文献 [1]郭懋正 2005,实变函数与泛函分析,北京大学出版社, 北京. [2]https://en./wiki/Tensor_product 致谢 |
|
|
