9.3 向量 - 值函数平面曲线当一个质点在时间区间 I 在平面内运动时, 可以把质点的坐标看做在 I 上的函数 
点(x,y) = (f(t), g(t)) 形成平面上的曲线, 称它为质点的路径. 从原点到质点在时刻 t 的位置 P(f(t),g(t)) 的向量 
是质点的位置向量, 函数 f 和 g 是位置向量的分量函数(分量). 质点的路径是在时间区间 I 由 r 绘制的曲线. 观察下面的向量函数 
三维空间中的向量函数: 
极限和连续通过数值分量来定义向量函数的极限. 在一点的连续性 
导数假定 r(t)=f(t)i+g(t)j 是沿一平面曲线运动的质点的位置向量, 而 f 和 g 是 t 的可微函数. 则质点位置再时刻 t+△x 和时刻 t 的差是△r=r(t+△t)-r(t), 用分量表示为: 
观察下图 
导数从上面动图可以看到, 当 △t 趋于 0 时, 有三件事情同时发生:首先, Q 沿着曲线趋于 P:割线 PQ 看来趋于点 P 与曲线相切的位置;△r△t趋于极限; 
如果 dr/dt 是连续且从不为 0 , 则 r 描绘的曲线是光滑的. 因为向量函数的导数是按分量逐个计算的, 对可微向量函数的求导法则对标量函数的求导法则有同样的形式. 
运动
再观察下面的图形 
不定积分r 对 t 的不定积分是 r 的所有反导数的集合. 用 ∫r(t)dt 表示, 若 R 是 r 的任一反导数, 则
定积分如果 r(t)=f(t)i+g(t)j 的分量在 [a,b] 上是可积的, 则 r 也如此, 并且从 a 到 b 的 r 的定积分是
(完)
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