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高数下这部分内容是 [遇见数学] 基于《托马斯微积分》一书结构所制作的。尽管我花了很长时间来编写动画程序，但最终出来的成品很多连自己看不下去。思考来去暂且先把第一个版本树立起来作为靶子，方便让各位老师和朋友们指导、提出建议，以帮助我继续迭代补充、完善。这次现将前面 15 集合并在一起吧. 余下再做一个合集. 近期也会制作出一个PPT可操纵的文档免费直接分享给大家，敬请关注！另有之前 【遇见数学】制作其他图解文章： » 图解线性代数 《图解高等数学 - 下》1 ~ 15 集
1. 向量▌平面向量 测量某些事物的大小, 如质量, 长度和时间, 只需要一个数和一个测量单位. 相关实数为标量. 向量(vector, 或称矢量)是指一个同时具有大小和方向的几何对象, 可以用来描述力, 位移或速度. 只要向量的大小和方向相同, 即视为相等的向量. 另外如果向量 v 的起点在原点, 则称之为是 v 的标准位置. 观察如下图所示在二维平面(Two-dimensional)下, 当移动一个向量, 所留下轨迹上都视为相同的向量: 向量的分量形式:如果平面上的一个向量 v 等于起点在原点 (0,0) 终点在 (v1, v2) 的向量, 则 v 的分量形式是 v=(v1,v2) 向量 v 的长度表示成 |v| 或 ||v||. 任何长度为 1 的向量 v 为单位向量. 如果 v=(v1,v2)与正 x 轴成角 θ , 则 v=(cosθ, sinθ) . 当 θ 从 0 到 2π 时, 单位向量取遍所有可能方向, 则绘制出单位圆. ▌向量的代数运算 设 u=(u1,u2)和 v=(v1,v2) 是向量, k 是一个标量(实数).
向量加法的定义几何解释如下动画, 图中一个向量的起点置于两一个向量的终点. 向量加法的另一种表示称为加法的平行四边形定律, 其中的和称为合成向量, 是平行四边形的对角线. 再物理学中, 力, 速度以及加速度等都是按向量的方式相加. 观察下图两个向量之和(红色箭头). 一个标量 k 和向量 u 的乘积动画显示如下. 如果 k >0, 则 k u 与 u 有相同的方向; 若 k<0, 则 k u 和 u 有相反的方向. 两个向量的差 u - v 意义是 u - v = u (-v) ▌标准单位向量 任何平面向量 v=(a,b) 都可以写成标准单位向量 i=(1,0) 和 j=(0,1) 的如下的线性组合:v = (a,b) = (a,0) (0,b) = a(1,0) b(0,1) = a i b j ▌长度和方向 在研究运动时, 经常想要知道一个物体朝什么方向和运行有多快. 向量 v≠0 , 则 v/|v| 是一个和 v 同方向的单位向量. ▌切线和法线 当一个物体沿平面(或空间)内的一个路径运动时, 它的速度是路径的一个切向量. 一个向量是一条曲线再一个点 P 的切向量或法向量, 如果它分别平行或垂直于曲线再点 P 的切线. 请观察下图动画: 点积如果一个力 F 作用再一个路径运动的质点上. 我们经常需要知道力再运动方向的大小. ▌点积 两个非零向量 u=(u1,u2)和 v=(v1,v2)的点积(或内积)是数 u⋅v = u1v1 u2v2 ▌向量间的夹角 两个非零向量 u=(u1,u2)和 v=(v1,v2)的夹角由下面式子给出:
特别注意: 向量 u 和 v 是正交的, 当且仅当 u⋅v = 0 ▌向量投影 下面看看向量 u 在 v 上的向量投影动画:
▌把一个向量写成正交向量的和 在研究一个质点沿平面上(或空间中)的一个路径的运动时, 加速度向量就可以写成它的切向分量和法向分量之和.
2. 向量值函数▌平面曲线 当一个质点在时间区间 I 在平面内运动时, 可以把质点的坐标看做在 I 上的函数
点(x,y) = (f(t), g(t)) 形成平面上的曲线, 称它为质点的路径. 从原点到质点在时刻 t 的位置 P(f(t),g(t)) 的向量
是质点的位置向量, 函数 f 和 g 是位置向量的分量函数(分量). 质点的路径是在时间区间 I 由 r 绘制的曲线. 观察下面的向量函数
▌三维空间中的向量函数:
▌极限和连续 通过数值分量来定义向量函数的极限. 在一点的连续性
▌导数 假定 r(t)=f(t)i g(t)j 是沿一平面曲线运动的质点的位置向量, 而 f 和 g 是 t 的可微函数. 则质点位置再时刻 t △x 和时刻 t 的差是△r=r(t △t)-r(t), 用分量表示为:
观察下图
▌导数 从上面动图可以看到, 当 △t 趋于 0 时, 有三件事情同时发生:首先, Q 沿着曲线趋于 P:割线 PQ 看来趋于点 P 与曲线相切的位置;△r/△t趋于极限;
如果 dr/dt 是连续且从不为 0 , 则 r 描绘的曲线是光滑的. 因为向量函数的导数是按分量逐个计算的, 对可微向量函数的求导法则对标量函数的求导法则有同样的形式.
运动
再观察下面的图形
▌不定积分 r 对 t 的不定积分是 r 的所有反导数的集合. 用 ∫r(t)dt 表示, 若 R 是 r 的任一反导数, 则
▌定积分 如果 r(t)=f(t)i g(t)j 的分量在 [a,b][a,b] 上是可积的, 则 r 也如此, 并且从 a 到 b 的 r 的定积分是
3. 笛卡尔坐标/直角坐标/点积/叉积当一个物体在空间中运动时, 其坐标方程 x=f(t), y=g(t), z=h(t) 提供了物体运动和路径的方程, 坐标为时间的函数. 如果采用向量记号, 可以把这些方程缩写为一个方程作为关于时间的向量函数的物体位置.
▌空间中的笛卡尔(直角)坐标和向量 为给空间的点定位, 需要由三条相互垂直的轴. 如下图所示轴组成右手坐标系
空间的点 P 的笛卡尔坐标 (x,y,z) 可用其位置向量表示. 如下图所示. 笛卡尔坐标也是直角坐标, 因为定义这种坐标的轴以直角相交.
▌空间中的向量 长度和方向与平面的情形一样, 若 v !=0 是空间中的非零向量, 则 v/|v| 是一个在 v 方向的单位向量. v 可以表示成它的长度和方向的乘积.
▌距离和空间中的球 半径为 a 中心为 (x0,y0,z0) 的标准球面方程:
▌点积和叉积 将之前研究的点积定义推广到空间. 然后对空间中的向量引入一个新的积, 称为叉积. 点积 空间中两个向量的点积(或内积, 数量积)以对平面向量同样的方式定义. 当把两个非零向量 u 和 v 的起点放在一起, 就形成一个大小 0<=θ<=π 的角.
垂直(正交)向量和投影 跟平面向量的情形一样, 两个非零向量 u 和 v 是垂直或正交的, 当且仅当 u·v=0 . 如果 u 表示一个力, 那么 projvuprojvu 表示在方向 v 的有效力.
▌空间中两个向量的叉积 空间两个非零向量 u 和 v. 如果 u 和 v 不平行, 那么就确定了一个平面. 这样可以用右手法则选择一个垂直于这个平面的单位向量 n. |u×v| 是平行四边形的面积.
▌转矩(力矩, Torque) 当我们再扳手上用一个力 F 转动一个螺栓时, 就产生一个转矩作用在螺栓的轴上以使螺栓前进. 转矩的大小依赖力作用在扳手多远的地方和多大的在作用点垂直于扳手的力. 转矩的大小 τ 是杠杆 r 的臂长和 F 的垂直于 r 的数量分量的乘积
▌三重积 三重积，又称混合积，是三个向量相乘的结果。向量空间中，有两种方法将三个向量相乘，得到三重积，分别称作标量三重积和向量三重积.
4. 空间中的直线和平面在一元微积分中, 应用了直线(切线)的知识研究平面曲线: 可微曲线是充分线性的. 现在从平面出发来研究函数图形的空间曲面. ▌空间中的直线和线段 空间中的直线由一个点和给出直线方向的一个向量确定.
可以观察如下图 L 是一条过点 P0P0 的平行于向量 v 的直线.
▌空间中的平面方程 空间中国的平面由它的一个点和决定'倾斜'方向的法向量决定.
请观察下面空间中的平面:
观察下面两个简化分量形式的平行平面方程:
▌相交直线 不平行的两个平面相交于一条直线. 也就是说两平面的交线正交于向量 n1n1 和 n2n2 (见下动图), 从而平行于 n1n1 x n2n2.
5. 柱面和二次曲面已经了解向量向量微积分和空间微积分所必需的两种特殊曲面, 空间的球面和平面. 现在再来看柱面和二次曲面. 柱面柱面(cylinder)是直线(母线)沿着一条给定曲线(准线)平行移动所形成的曲面. 请见下面动图:
双曲柱面 y2−z2=1y2−z2=1 由平行于 x 轴并且过 yOz 平面上的双曲线 y2−z2=1y2−z2=1 的直线构成. 柱面在垂直于 x 轴的平面上的截线双曲线. 观察下图:
二次曲面(Second-degree Surface)另一类曲面是二次曲面, 它是空间中 x, y 和 z 的二次方程图形, 最一般的形式是
其中 A, B, ..., K 是常数. 基本的二次曲面是椭球面, 抛物面, 椭圆锥面和双曲面.
椭球面(ellipsoid)
观察下面动图在 (±a,0,0) , (0,±b,0) 和 (0,0,±c)截坐标轴, 三个坐标平面截曲面所得曲线都是椭圆. 其中 a = 3, b =4, c=5.
椭圆抛物面(elliptic paraboloid)
关于平面 x=0 和 y=0 对称. 曲面和轴的唯一交点是原点. 除这个点外, 曲面整个在 xy 平面上(若c>0) 或下方(若c<0). 观察下面 a=4, b=2, c=1 时的椭圆抛物面:
椭圆锥(Elliptic cone)
双曲面 - 单叶双曲面(Hyperboloid of one sheet)
双曲面 - 双叶双曲面(Hyperboloid of two sheets)
鞍面 - 双曲抛物面(Hyperbolic paraboloid)
6. 向量值函数和空间曲线 就想平面曲线那样, 为研究空间中质点的运动轨迹, 研究从原点到质点的向量 r 变化. 这里假定质点的位置坐标是时间 t 的二次可微函数. 空间曲线当一个质点在时间区间 I 在空间内运动时, 可以把质点的坐标看做在 I 上的函数:
点 (x,y) = (f(t), g(t)) 形成空间上的曲线, 称它为质点的路径. 从原点到质点在时刻 t 的位置 P(f(t),g(t),h(t)) 的向量:
是质点的位置向量, 函数 f 和 g 是位置向量的分量函数(分量). 质点的路径是在时间区间 I 由 r 绘制的曲线. 观察下面的空间曲线:
极限和连续相同方式来定义空间向量函数的极限.
导数和运动空间向量函数的导数与平面向量函数同样方式定义, 无非现在多了第三个分量.
导数定义的几何意义跟平面曲线一样, 观察下图 r'(t) 为点 P 的切向量.
圆柱螺线向量函数 r 描绘的曲线是绕在圆柱上的螺线(Helix).
对光滑曲线要求 dr/dt != 0 是为了保证曲线在每点有连续转动的切线, 在光滑曲线上没有拐角和尖角. 现在观察有尖拐角的空间曲线情况.
速度, 加速度, 运动方向
微分法则微分法则与平面向量函数相同, 无非现在多了第三个分量.
7. 曲线弧长，单位切向量，主单位法向量现在来看下曲线形状的特征, 这些特征能描述曲线弯曲和扭曲的程度. 曲线的弧长来看看怎样定义光滑曲线的距离. 其实与平面曲线一样, 观察下面动图:
弧长函数选取以 t 为参数 曲线 C 上的点 P(t0)P(t0) 为基点, t 的每个值确定 C 上的一个点 P(t)=⟨x(t),y(t),z(t)⟩P(t)=⟨x(t),y(t),z(t)⟩ 和一个沿曲线从基点测量起的距离 s(t) 函数:
s 的每个值确定 C 上的一个点, s 称为曲线的弧长参数, 对于研究空间曲线的弯曲和扭转非常有用. 单位切向量 T速度向量 v=dr/dt 切于曲线, 从而向量 T=v/|v| 是曲线的单位切向量, 它是描述空间物体运动标架的三个向量之一.
曲率和平面曲线的主单位法向量曲线的'弯曲'和'扭曲'并不是相同. 当一个质点沿平面光滑曲线运动时, T=dr/ds 随曲线的弯曲而转动. T 是单位向量, 在质点沿曲线运动时它的长度保持常值而仅仅方向改变. 单位长度 T 的转动率为曲率, 用希腊字母 [Kappa] 记号(读 kappa).
如果|dT/ds|大, T 在质点通过 P 时转动得就急剧, 在点 P 的曲率就大, 反之亦然. 可以观察下图:
当曲线弯曲时, 向量 dT/ds 指向 T 转动的方向. 也就是说, 主单位法向量指向曲线凹的一侧. 观察下面动图:
曲率圆和曲率半径在平面曲线的 [Kappa]!=0 的点 P 的曲率圆是曲线所在平面上的圆周:
曲线在点 P 的曲率半径是曲率圆的半径:
下面观察 y=x^2 的曲率圆动画:
8. TNB标架;加速度的切向分量和法向分量笛卡尔坐标系对于描述运动的向量并非最合适的, 使用 TNB 标架来解释路径和沿路径运动的性质.T: 代表前进方向的单位切向量N: 代表路径弯曲方向的单位法向量B: 代表沿垂直与这两个向量确定的平面方向, 也就是从这个平面扭转出来趋势的次法向量, B = T x N . 三叶结，带有切线、法线和副法线沿曲线的动画：
每个运动体带着一个 TNB 标架运动, 该标架刻画了运动路径的几何特征. 比如 |dT/ds| 表明一辆车的路径向左向右弯曲程度, 称为车的路径的曲率; -(dB/ds)·N 表明车的路径从运动平面扭转了多少, 称为车辆路径的挠率. 如上动图所示那样, 如果红点 P 是在弯曲公路上形式的汽车, 车灯的单位距离左右弯曲的变化率是公路的曲率, 而 T 和 N 确定的平面扭转的变化率是挠率. 空间曲线的曲率和法向量空间曲线的单位切向量 T 定义与平面曲线一样.
从上面的动画可以, 当固定 a 而增加 b 时, 曲率减少. 当固定 b 而减少 a 时, 曲率也会减小. 这表明拉伸弹簧就有把它弄直的趋势. 如果 b=0, 螺旋线退化为半径为 a 的圆, 则曲率为 1/a. 如果 a=0, 螺旋线退化为 z 轴, 曲率为 0. 观察下面动图:
挠率和次法向量空间的次法向量是 B = T x N, 也就是同时正交 T 和 N 的单位向量. T, N 和B 定义了一个右手向量标架, 这对于计算在空间中运动的质点的路径非常有意义.
曲率 κ 只能为正值, 但挠率可正可负, 也可以为 0. 由 T, N,B 确定的三个平面如下图所示. 曲率 κ = |dT/ds| 可以理解为点 P 沿曲线运动时候法平面(Normal Plane)转动的速率. 挠率 τ 是点 P 沿曲线运动时密切平面绕 T 转动的速率.
加速度的切向量和法向分量当物体运动时, 主要关注的是在运动方向即切方向 T 的加速度是怎样.
加速度总在正交于 B 的 T 和 N 的平面内, 并且能从上式中可以得知在正切方向产生了多少加速度, 在正交运动的方法产生多少加速度. 并且加速度是速度的变化率, 所以切向分量反映的 v 的长度的变化, 而法向分量测量 v 的方向的变化速率.
计算曲率和挠率的公式便于计算曲率和挠率的公式:
9. 多元函数二元函数定义 二元函数假定 D 是有序实数对 (x,y) 的集合. D 上的二元实函数 f 是一个规则, 它对 D 内的每个有序对 (x,y) 有唯一对应的实数 w=f(x,y). D 为 f 的定义域, w 的值的集合是值域. 内点, 边界点, 开集, 闭集xy 平面上的集合 R 的一个点 (x0,y0) 是完全含于 R 内的圆盘的中心, 称为 R 的内点(Interior Point).
一个点 (x0,y0) 是 R 的边界点(Boundary Point), 如果每个以 (x0,y0) 为中心的圆盘有不属于 R 的点, 也有属于 R 的点.
如果一个集合完全由内点组成, 则称为开集. 如果一个集合包含它的所有边界点, 则称为它为所有边界点, 则称为它为闭集. 平面有界集合比如: 线段, 三角学, 三角学内部, 矩形, 圆周和圆盘. 无界集合: 直线, 坐标轴, 定义在无穷区间上的函数图形, 象限, 半平面和平面. 二元函数的图形和等位线在平面内, 二元函数取常数值 f (x, y) = c 的点组成函数定义域内的曲线.
观察下图 f(x,y)=xe^(−x^2−y^2) 的图形及等位线和等高线图形.
三元或更多元函数三元函数 f 是对空间的某个定义域 D 的每三元组(x,y,z) 指定一个唯一的实数 w=f(x,y,z) 的规则. 三元函数的等位面在空间内, 三元函数取常数值 f(x,y,z)=c 的点组成函数定义域内的曲面, 称之为等位面. 因为三元函数的图形由点 (x,y,z,f(x,y,z)) 组成, 在四维空间内, 无法在三维空间内绘制出来. 不过可以通过观察它的三维等位面了解它的行为. 比如下面动画, 观察函数定义域的等位面. 等位面在定义域内移动时显示函数值的变化. 可以看到常数值等于 1,2,3 时候的球面(为了更方便观察内部结构, 只显示出3/4体积). 假如离开原点的话, 函数值就会增加, 反之亦然. 函数值的改变依赖于移动的方向.
10. 高维函数的极限和连续二元和三维函数极限定义类似一元函数极限定义, 但有一点重要的不同之处. 先来回顾一元的极限定义.
二元函数的极限如果 (x0,y0)(x0,y0) 是 f 定义域内, (x, y) 可以从任何方向接近 (x0,y0)(x0,y0).
二元函数的连续性二元函数的连续定义与一元函数一样.
如下图函数极限随路径不同而变化, 所说当 (x,y)趋于 (0,0) , f 没有极限(或者说可能是 -1 到 1 的任何值 )
11. 偏导数对于多元函数, 当我们把一个自变量固定, 对另一个变量求导, 这样就是求偏导. 现在来看下偏导数的定义以及如何计算. 二元函数的偏导数 如果 (x0,y0)是函数 f(x,y) 定义域中的一点, 固定平面 y=y0 割曲面 z=f(x,y) 得到曲线 z=f(x,y0) (如下图红色曲线所示).
在点 (x0,y0)对于 y 的偏导数定义类似 f 对于 x 的偏导数. 现在只是把 x 固定在 x0 的值, 而取计算 f(x0,y) 在 y0 对 y 的普通导数. 请看下面的动画:
多于二元的函数更多元的函数偏导数类似二元函数定义, 只是对某一个变量求导, 而其余自变量为常数. 偏导数和连续性一元函数导数即意味着连续, 但二元函数 f(x,y) 不同, 在一个点不连续, 但对 x 和 y 可以求偏导.
二阶偏导数二阶导数就是对函数求导两次, 但注意求导次序如果是先对y 求偏导, 再对 x 求偏导应该这样的写法:
混合求导在计算二阶混合导数时候, 可以按任意次序微分. 可微性 Differentiability如果 fx(x0,y0 和 fy(x0,y0) 存在, 并且 Δz 满足下面的等式:
其中当 (Δx,Δy)→(0,0) 时 (ϵ1,ϵ2)→(0,0), 则函数 z=f(x,y) 是在 (x0,y0) 点可微的. 如果它在定义域内的每个点都是可微的, 则说 f 是可微的. 多元函数偏导存在且连续推出函数可微, 但反之不成立, 这点与一元函数不同 12. 方向导数, 梯度向量和切平面根据链式求导法则可知, 如果 f(x,y) 是可微的,则 f 沿曲线 x=g(t), y=h(t) 对于 t 的变化率是下面式子:
上面式子 f 对于 t增量的变化率依赖于沿曲线运动的方向.
方向导数的解释函数 z=f(x,y) 表示空间曲面 S. 则点 P(x0, y0,z0) 在 S 上. 过点 P 和 P0 的 u 方向的垂直平面交 S 与曲线 C. f 沿方向 u 的变化率是 C 在点 P 的切线的斜率. 观察下面动画:
方向导数推广了两个偏导数, 现在可以求沿任何方向的变化率了. 计算
一个更有效的计算 f 在 P0cbf;P0方向 u 的方向导数的公式,就是 u 与 f 在 P0P0 梯度的点击.
方向导数的性质根据上式, 当 cosθ=1 时, u 与 ▽f 同方向时, 函数 f 增加最快, 类似, 反方向减少最快. 而正交于梯度的方式 u 是 f 变化率为 0 的方向, 此时 θ=pi/2. 函数 f(x) = x^2/2 y^2/2 在 (1,1) 增加最快的方向梯度的方向, 它对应于在点 (1,1,1) 在曲面上最陡峭的方向.
梯度和等高线的切线函数 f(x,y) 的定义域的每个点 (x0,y0)(x0,y0), f 的梯度正交于过 (x0,y0)(x0,y0) 的等高线. 创建互动等高线，把法线显示为一个点：
增量和距离f 沿方向 u 的变化有多少, 如从点 P0P0 沿 u 移动一点点距离 ds , f 的值变化多少等于方向导数乘以ds . 三元函数现在再看三元可微函数 f(x,y,z), 与之对应的单位向量 , 则
切平面和法线三元可微函数 f(x,y,z) 的梯度向量满足二元函数梯度的所有性质.
观察下面 '-17 x 2 y 4 z=0' 的等位面上的切平面动画:
13. 线性化和微分二元或多元函数的线性化和微分类似一元函数的线性逼近. 先来回顾下一元的公式.
二元函数的线性化用更简单的二元函数来代替函数 f(x,y).
也就是 z=L(x,y) 是曲面f(x,y) 在点 (x0,y0) 的切平面. 观察下面动画来查看函数 f(x,y) = -x^2−y^2 在点 (0,0) 的线性化逼近.
从上图可以看到二元函数的线性化切平面逼近与一元函数的切线线性化逼近是非常类似的. 标准线性逼近的精确度现在考虑逼近的精确度是如何衡量的, 这里受到三个因素的影响:
用微分来预测变化
14. 极值和鞍点多元函数函数的最值需要通过函数的偏导数来求解, 也是多元微分学的一个重点. 工程应用中有很多地方都用得到: 例如一个平面热金属上最高温度是多少? 位置在那里? 一个给定的函数曲面最高点如何达到? 这些都需要考察函数的的偏导数来解答. 不过先来回顾下一元函数求极值的步骤, 可微函数(光滑曲线)是连续的. 所以极值可能会在 f'(c)=0 、区间的端点或一个或多个内点不可微的地方, 这些点都需要加入到考察的范围中.
二元函数也类似这样的请看, 极值点可能出现在区域边界点或两个偏导为 0 的内点或一个或两个偏导数不存在的地方. 二元函数的局部极值我们来分辨 二元函数中那些点是局部最大, 局部最小或是全局最大, 全局最小, 请看下面动画所示:
局部最大值对应的函数曲面的山峰, 而局部最小值对应的谷底. 对于这样的点, 切平面存在时一定是水平的. 与一元函数一样, 可以用一阶导数判别法来判断局部极值.
但请注意上面定理的局限性. 它不适用于定义域的边界点(边界点有可能有极值, 且有非零导数). 另外它也不能用于 fx 或 fy 不存在的地方.
这样, 函数 f 仅有的极值的点是临界点或边界点. 与一元函数可能存在拐点一元, 二元可微函数可能存在鞍点.
观察下面两条图形中鞍点:
观察下面函数 x^2−y^2 的鞍点(红点), 此函数没有局部极值.
上面定理就是说如果 D(a,b) > 0, 则曲面在任何方向以同样的方式弯曲:如果 fxx < 0 , 则朝下, 产生局部极大;如果 fxx > 0 , 则朝上, 产生局部极小; 如果 D(a,b) < 0, 则曲面某些方向向上, 某些方向向下, 从而会有鞍点的产生. 海森矩阵(Hessian matrix) 为下面矩阵形式, 其行列式即为上面判别式.
15. Lagrange 乘子如果是求定义域内约束在某个区域内函数的极值, 可以用本次讲述的 Lagrange乘子法. 约束最大值和最小值 观察下面函数 f(x,y)=49-x^2−y^2 受约束 g(x,y)=x 3y-10=0 的图形.
求双曲柱面 x^2−z^2-1=0 上到原点最近的点的一个方法是设想中心在原点的球面不断膨胀, 直到刚刚接触到柱面. 此时柱面和球面有同样的切平面和法线. Lagrange 乘子法若函数 f(x,y,z) 的变量受约束 g(x,y,z)=0限制, 函数的极值可以用下面Lagrange乘子法求出.
现在看函数 f(x,y)= x y 在椭圆 x^2/8 y^2/2=1 上的最大值和最小值, 现在看下解的几何解释. f(x,y)=x y 的等高线图是双曲线 x y=c , 如下:
从上图可是双曲线离开原点越远, f 的绝对值越大. 需要在约束条件下 - 椭圆 x^2 4y^2=8 上使 f(x,y) 取极值点. 也就是刚刚与椭圆相切的双曲线会距离原点最远, 在这四个切点中, 双曲线的法线也是椭圆的法线. 观察下图动画, 可以看到黑色 '▽f'是 '▽g'的数值倍数. 带两个约束条件的 Lagrange 乘子法如果是两个约束限制的可微函数求极值, 这里 g1(x,y,z)=0 和 g2(x,y,z)=0, 可微且梯度向量不平行. 可以通过引进两个 Lagrange乘子 λ 和 μ, 通过求解下面方程中的 x,y,z,λ,μ 值来求出极值点的位置:
曲面 g1=0 和 g2=0 通常会相交于一条曲线 C. 沿着这条曲线寻找 f 相对于曲线上其他值的极大值和极小值的点. 例如下面例子中平面 x y z=1 (g1)相交于圆柱 x^2 y^2=1 (g2) 为一个椭圆, 求这个椭圆上离原点最远的点. 观察 ▽g1 正交于平面 x y z=1, 而 ▽g2 正交于曲面 x^2 y^2=1, 向量 ▽g1 和 ▽g2 位于垂直与椭圆曲线的 C (下图红色)的平面内. 并且 ▽f 也正交于 C, 且在 ▽g1 和 ▽g2 决定的平面内, 这意味这对于某个 λ 和 μ 有 ▽f = λ ▽g1 μ ▽g2. 观察下图来更好理解:
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