高中物理 | 初速为零的匀变速运动的比例式

设t =0开始计时，以T为时间单位。则

1、1T末、2T末、3T末……瞬时速度之比为v₁∶v₂∶v₃∶…… = 1∶2∶3∶……

可由，直接导出

2、第一个T内，第二个T内，第三个T内……位移之比，s_I∶s_Ⅱ∶s_Ⅲ∶……= 1∶3∶5∶……∶（2n－1）

证明：由位移公式得

可见，s_I∶s_Ⅱ∶s_Ⅲ∶……= 1∶3∶5∶……∶（2n－1）  即初速为零的匀加速直线运动，在连续相等时间内位移的比等于连续奇数的比.

如：一小球以某一初速度沿光滑斜面匀减速上滑，达顶端时速度为零，历时3s，位移为9 m，求其第1 s内的位移.

分析：反过来看，物体初速为零，连续相等时间内位移之比为1∶3∶5，可知，以

某初速上滑时第1 s内的位移为总位移的，即位移为5 m.

以上例子还可求出中间时刻的瞬时速度，即整个过程的平均速度，也可求运动的加速度 （取后一段研究），负号表示a与的方向相反. 当然还可求出初速度，由得

3、1T内、2T内、3T内……位移之比s₁∶s₂∶s₃∶……= 1²∶2²∶3²∶……

可由直接导出

4、通过连续相同的位移所用时间之比

……=……

证明：由知通过第二段相同位移所用时间

同理

则……=……

 

例1、一滑块自静止开始，从斜面顶端匀加速下滑，第5 s末的速度是6 m／s，试求（1）第4 s末的速度；（2）运动后7 s内的位移；（3）第3 s内的位移

分析：物体的初速度v₀=0，且加速度恒定，可用推论求解.

解析：（1）因为所以，即∝t

故

第4s末的速度

（2）前5 s的位移

由于s ∝t ²

所以

故7 s内的位移

（3）利用s_I∶s_Ⅲ= 1∶5知

第3s内的位移s_Ⅲ=5s_I=5×0.6 m=3 m

 

例2、一物体沿斜面顶端由静止开始做匀加速直线运动，最初3 s内的位移为s₁ ，最后3s内的位移为s₂，已知s₂－s₁=6 m；s₁∶s₂=3∶7，求斜面的总长.

分析：由题意知，物体做初速度等于零的匀加速直线运动，相等的时间间隔为3s。切忌认为物体沿斜面运动了6 s，本题中前3 s的后一段时间与后3s的前一段时间是重合的。

解析：由题意知

解得s₁=4.5 m   s₂=10.5 m

由于连续相等时间内位移的比为l∶3∶5∶……∶（2n－1）

故s_n=（2n－1）s_l

可知10.5 = （2n－1）4.5

解得n =

又因为s_总 = n²s₁

得斜面总长s_总 = ×4.5=12.5 m

 

例3、一列车由等长的车厢连接而成. 车厢之间的间隙忽略不计，一人站在站台上与第一节车厢的最前端相齐。当列车由静止开始做匀加速直线运动时开始计时，测量第一节车厢通过他的时间为2s，则从第5节至第16节车厢通过他的时间为多少?

分析：此题若以车为研究对象，由于车不能简化为质点，不便分析，故取车为参考系，把车的运动转化为人做匀加速直线运动。

解析：据通过连续相等的位移所用时间之比为

……得

所以所求时间△t=4 s

运动学题目的解法多种多样，但总有一些解法比较简单，希望在掌握基本解法的基础上多考虑一些不同的解题方法。另解如下：

设每节车厢长为s，加速度为a，则人通过第一节车厢的时间

则人通过前4节车厢的时间为

人通过前16节车厢的时间为

故所求时间。