高中数学 | 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数求导公式以及积与商的函数导数求法

1、常见函数的导数公式：

常数函数的导数：；

幂函数的导数：；

如下：；

三角函数的导数：；

对数函数的导数：   

指数函数的导数：　    

2、求导数的法则

（1）和与差函数的导数：．

由此得多项式函数导数 

（2）积的函数的导数：, 

特例[C·f(x)]'＝Cf'(x)。

如①已知函数的导数为，则_____（答：）；

②函数的导数为__________（答：）；

③若对任意，，则是______（答：）

（3）商的函数的导数：  

 

例1、求下列导数

（1）y ＝；

（2）y ＝x · sin x · ln x；

（3）y ＝；

（4）y ＝．

（1）解析：∵y ＝＝

∴

（2）y'＝(x · sin x · ln x) '＝(x · sin x) ' · ln x+(x · sin x )( ln x) '

          ＝[x'sinx+x(sinx) ']·lnx+(x · sin x )

＝[sinx+xcosx]lnx+sinx

总结：如遇求多个积的导数，可以逐层分组进行；求导数前的变形，目的在于简化运算；求导数后应对结果进行整理化简．

（3）y'＝

（4）∵y ＝＝

∴y'＝

 

例2、求函数的导数

① y＝（2 x²－5 x ＋1）e^x

② y＝

解析：① y'＝（2 x²－5 x ＋1）′e^x＋（2 x²－5 x ＋1）(e^x)′＝(2x²－x－4)e^x

②

∴y'

总结：① 求导数是在定义域内进行的．② 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心．

 

例3、已知曲线C：y ＝3 x ⁴－2 x³－9 x²＋4

（1）求曲线C上横坐标为1的点的切线方程；

（2）第（1）小题中切线与曲线C是否还有其他公共点？

解析：（1）把x ＝1代入C的方程，求得y ＝－4．

∴切点为（1，－4）．

Y'＝12 x³－6 x²－18 x，

∴切线斜率为k ＝12－6－18＝－12．

∴切线方程为y ＋4＝－12（x－1），即

y＝－12 x ＋8．

由得

3 x ⁴－2 x³ －9 x²＋12 x －4＝0

(x －1) ² (x ＋2) (3 x －2)＝0

x ＝1，－2，．

代入y ＝3 x ⁴－2 x ³ －9 x ² ＋4，求得y ＝－4，32，0，即公共点为（1，－4）（切点），（－2，32），（，0）．

除切点外，还有两个交点（－2，32）、（，0）．

总结：直线和圆，直线和椭圆相切，可以用只有一个公共点来判定．一般曲线却要用割线的极限位置来定义切线．因此，曲线的切线可以和曲线有非切点的公共点．

 

例4、曲线S：y ＝x³－6 x ²－x ＋6哪一点切线的斜率最小？

设此点为P（x₀，y₀）．证明：曲线S关于P中心对称．

解析：y'＝3 x²－12 x －1

当x ＝＝2时，y′有最小值，故x ₀＝2，

由P∈S知：y ₀＝2³－6 · 2²－2＋6＝－12

即在P（2，－12）处切线斜率最小．

设Q（x，y）∈S，即y ＝x³－6 x²－x ＋6

则与Q关于P对称的点为R（4－x，－24－y），只需证R的坐标满足S的方程即可．

(4－x)³－6(4－x)²－(4－x)＋6

＝64－48 x ＋12 x ² －x ³－6（16－8 x ＋x²）＋x ＋2

＝－x ³ ＋6 x ² ＋x －30

＝－x ³ ＋6 x² ＋x －6－24

＝－y－24

故R∈S，由Q点的任意性，S关于点P中心对称．

总结：本题考查导数的几何意义．求切点时，要将取最小值的x值代回原方程．

 

例5、一质点的运动方程为s(t)＝asint+bcost(a>0)，若速度v(t)的最大值为，且对任意的t₀∈R,在t＝t₀与t＝ －t₀时速度相同，求a、b的值。

解析：v(t)＝s(t)＝acost－bsint

∵v(t)的最大值为　∴a²+b²＝

又∵在t＝t₀与t＝ －t₀时速度相同

∴(a+b)(cost₀－sint₀)＝0且对任意的t₀∈R且a>0

∴(a+b) ＝0，∴a＝,b＝－。