求一个函数的导函数等于这个函数的反函数！你绝对想不到的方法！

今天我们讨论一个非常有趣的问题

求函数f(x)，满足f′(x)=f(-1)(x)。

这里f′(x)表示函数f(x)的导函数；

f(-1)(x)表示函数f(x)的反函数。

也就是说，求出一个函数，满足这个函数的导函数等于这个函数的反函数。

导函数大家都比较了解，这里就不过多说明了，有兴趣的朋友可以前往我的主页进行翻看。

我们来解释一下什么是反函数。

原函数y=f(x)，是用x来表示y；

反过来，用y表示x，得到另一个新函数x=g(y)；

按照习惯，我们再把这个新函数的x和y互换一下，表示为y=g(x)；

我们把函数y=g(x)称为原函数y=f(x)的反函数；

记为y=f(-1)(x)=g(x)

回到这个问题，f′(x)=f(-1)(x)，这个微分方程看上去很有趣，但要把f(x)解出来，却并不容易。

这是一个非常抽象的方程，对于f(x)的形式我们并不知道，我们只能从已有的函数形式去猜想和分析。

我们不妨把f(x)的范围缩小到初等函数，如果f(x)真的是非初等函数，那实在是无能为力了。

接下来我们来分析一下f(x)可能的函数形式。

初等函数有五大类，分别是幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。

首先排除三角函数，因为三角函数的导数还是三角函数，不可能等于反三角函数；

其次排除反三角函数，因为反三角函数的导数类似于幂函数，而反三角函数的反函数是三角函数，两者也不可能相等；

再次排除指数函数，因为指数函数的导数类似于指数函数，而指数函数的反函数是对数函数，两者仍然不可能相等；

最后排除对数函数，因为对数函数的导数类似于反比例函数，而对数函数的反函数是指数函数，两者还是不可能相等。

这样排除以后就只剩下一种可能了，那就是幂函数。

对于幂函数y=x^a

导函数y′=ax^(a-1)

反函数y(-1)=x^(1/a)

两者都仍然是幂函数，至少在形式上是统一的，也才有可能相等。

好了，现在我们已经有了大致方向，我们假设

y=f(x)=ax^b（a＞0，b＞0）

y′=f′(x)=abx^(b-1)

y=ax^b，x^b=y/a

x=(y/a)^(1/b)

y(-1)=f(-1)(x)=(x/a)^(1/b)

f′(x)=f(-1)(x)

abx^(b-1)=(x/a)^(1/b)

abx^(b-1)=[x^(1/b)]/[a^(1/b)]

ab[a^(1/b)]=[x^(1/b)]/[x^(b-1)]

[a^(1+1/b)]b=x^(1/b-b+1)

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由于等式左边是一个常数，所以等式右边也是一个常数。

1/b-b+1=0

1-b^2+b=0

b^2-b-1=0

b=(1±√5)/2

由于b＞0

b=(1+√5)/2

[a^(1+1/b)]b=x^(1/b-b+1)=x^0=1

[a^(1+1/b)]b=1

注意到

1/b-b+1=0

1+1/b=b

[a^(1+1/b)]b=(a^b)b=1

a^b=1/b=b^(-1)

a=[b^(-1)]^(1/b)=b^(-1/b)

a=b^(-1/b)

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最终我们求出了这个函数：

y=f(x)=ax^b=[b^(-1/b)](x^b)

b=(1+√5)/2

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当然，以上解只是这个方程的一个特解，而且这种求解的方法并不严密，我们是通过猜想假设f(x)解析式的形式进行推导的，而不是直接求出这个解析式。

要想严格求出通解需要运用到非常复杂的高数知识，这里就不详细讲解了。