（A4）必须了解的六大基本函数

上一篇我们介绍了反函数和单调函数，这属于函数具有的性质范畴，就像人都具有两只手两只脚一样，这次我们具体来了解下六大基本函数，这就像需要具体查看男女老少了，可以这么说，既然要了解微积分，这六个基本函数无论如何绕不开，因为微积分处理的函数对象基本上都是由这六种演化而来的。

光看公式，不大有感觉，赶紧借助WA画下图，这里我暂定a=2好了。

（1）常值函数：虽然简单，但必不可少。我们的身高到了一定年龄后基本上就成了一个常值函数。坐标轴上对应的就是平行于x轴的一条直线。

（2）指数函数：还记得小时候有个故事吗？一个地主分财产，小儿子说我只需要铺满象棋格子的米粒就行，只要按照这样的规则：第一个格子放一粒，第二个格子放二粒，以后每个格子放的米粒数都是前一个格子的两倍。财主想都没想就答应了，等到实际分的时候就傻眼了。为什么傻眼呢？我们来算算：象棋有64个格子，第一个格子放1粒，也就是2^0粒；第二个格子放2粒，也就是2^1粒;... ...最后一个格子要放2^63粒；所有米粒加起来就是一个等比数列求和S=2^0+2^1+...+2^63=2^64；百度查了一下，一斤米大概50000粒，一吨米的话100000000粒，除一下的话，小儿子最后能够得到1.8× 10^11吨，也就是1800亿吨，这就是指数的力量！

另外，现在有一个讲法叫做指数级增长，其实并不准确，还得加上底数大于1，如果小于1的话，就变成指数级衰减了。如下图：

指数函数底a=2和a=1/2

Wolframalpha小贴士:如果只是想画出图形看看，不想看其他的内容，可以使用plot y=2^x实现，如果想同时观察两个图形，可以在两个函数之间加上英文and，例如：plot 2^x and (1/2)^x。

（3）对数函数：上一篇我们讲过了反函数，对数函数就是指数函数的反函数，我们已经知道互为反函数的两个函数关于y=x对称，如图：

直观上看，一个对数函数就一定对应着一个指数函数，那我们已经有了指数函数，为什么还要创造一个对数函数呢？其实我们可以这样看，对数函数和指数函数单调性是一致的，并且十分相关，这就为解决计算提供了简便的方法。举个栗子：地球到太阳的距离是1.519*10^8km，转换成自然对数值为18.839，一下子就将数字减小了不少，减小的意义在于大数计算时大大压缩了计算时间，提高了效率，特别的，对数函数特有的计算规则，可以将乘除转化成加减，这又大大提高了效率，一句话，对数函数在对付大数字时，就像一个压缩器，把埃菲尔铁塔压缩成桌子上的模型，但却没有损失一点信息。

Wolframalpha小贴士:对数函数的底数可以直接log跟上数字即可，如以2为底的对数函数，可以输入y=log2(x)，特别的自然对数，可以输入y=ln(x)

（4）幂函数：幂函数的起源已经不可考，但是我们可以猜测，其一定是来源于实际情况，并且进行了扩展。我们需要数出一排x人，共x列，共有多少人，就是x的二次幂（也就是平方）。我们需要计算一间长宽高均是x米的房子有多少体积，就是x的三次幂（也就是立方）。这样我们只需要知道x，就有一个对应的幂结果，这也就成了幂函数。和指数函数一样，底数不同，单调性和增减幅度差别很大，如图：

这里只画出了第一象限

Wolframalpha小贴士:对需要同时画出很多函数图形的情况，可以使用“{}”，比如上图就是用了如下命令：plot {x^2,x^5,x^(1/2),x^(1/5),x^(-1/2),x^-2}，相当于省去了很多个and。

（5）三角函数：这是中学说过n遍的东西，它其实就是为了便于进行角度与边长之间的计算，举个栗子：太阳光以与地平呈30度角照射你，你身高1.8米，影子长就是1.8*cot30或者1.8*cot(Pi/6)。三角函数主要的就是四个：sinx、cosx、tanx，cotx。其实只需要知道一个，就能够推出其他三个，但为什么还要搞出这另外三个呢？我们可以这样理解，乘法不就是优化了的加法吗？所以一切就是为了方便再方便而已。对于三角函数，强烈推荐使用单位圆辅助记忆及公式间推导。单位圆我会另作一篇进行介绍。三角函数讲个历史小故事：我们现在都叫的勾股定理或者毕达哥拉斯定理，其实早在西周就有个叫商高的人发现了，比毕达哥拉斯整整早了500年。

（6）反三角函数：和指数函数与对数函数一样，反三角函数就是三角函数的反函数。主要也是四个：arcsinx、arccosx、arctanx、arccotx。可以这样理解，三角函数是为了已知角度求边长，反三角函数就是为了已知三角函数值求角度，前面的arc古代意思为弓弦，也就引申为弧度。需要什么，就创造什么，这就是历史的规律。

可以看到，在WA中，arcsinx就是被解析成sinx的反函数

认识了这六个基本初等函数，下一篇就要进行下升华，从这六个基本初等函数变化出简单初等函数和初等函数，而这些函数特有的优质特性，也是微积分利用到的，另外插一句，微积分之所以看重这六类基本初等函数，就是因为现实世界的抽象大都汇聚于此。