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在家自学微积分,你一定要看这本书

2020-02-14  山葡萄A

最近因为疫情的关系,很多学校都推迟了开学时间,或者改成了网上教学。对于很多学生来说,在众多课程中,微积分是绕不过的一科。即使被虐千万遍,也依然要待它如初恋……

在家自学微积分,你一定要看这本书

下面这段历史也许能帮你坚定学习微积分的决心:1665 年,伦敦爆发鼠疫,剑桥大学关闭,一位年轻人不得不返回家乡,在家乡的两年中,他主要研究了微积分、万有引力定律和光学,这些理论对后世产生了巨大的影响,而这个年轻人正是我们所熟知的牛顿大神。

在家自学微积分,你一定要看这本书

当然,绝大部分人不可能像牛顿那样在疫情期间研究出举世闻名的理论,不过至少,我们可以在这段时间学习一下牛顿留给我们的数学遗产——微积分。

“工欲善其事,必先利其器”,今天推荐的就是一本能够助大家学好微积分,被读者誉为“0 基础也能看懂的高等数学书”——《普林斯顿微积分读本》

豆瓣 9.6 分高分评价:

在家自学微积分,你一定要看这本书

这本书讲什么?

这本经典著作源于风靡美国普林斯顿大学的阿德里安·班纳教授的微积分复习课程,将易用性与可读性以及内容的深度与数学的严谨完美地结合在了一起,激励学生不再惧怕微积分,并在考试中获得高分。

本书阐述了求解微积分的技巧,详细讲解了微积分基础、极限、连续、微分、导数的应用、积分、无穷级数、泰勒级数与幂级数等内容,旨在教会读者如何思考问题从而找到解题所需的知识点,着重训练大家自己解答问题的能力。

在家自学微积分,你一定要看这本书

阿德里安·班纳教授

作者有话说:这本书旨在帮助你学习单变量微积分的主要概念, 同时也致力于教会你求解问题的技巧。无论你是第一次接触微积分, 还是为了准备一次测验, 或是已经学过微积分还想再温习一遍, 我都希望本书能够对你有所帮助。

写作本书的灵感来自我在普林斯顿大学的学生们。他们在过去的几年里发现, 与课堂授课、作业讲解以及他们的教科书一样, 本书的初稿是很有帮助的学习指南。以下是他们在学习过程中提出的一些你可能也想问的问题。

这本书为什么这么厚?(668 页) 我是假设你真的想要掌握这门课程, 而不只是想囫囵吞枣, 一知半解, 所以你已经准备好投入一些时间和精力, 去阅读并理解这些详尽的阐述。

阅读之前, 我需要知道些什么? 你需要了解一些基本的代数知识, 并且要知道如何求解简单的方程式。本书的前两章涵盖了你所需要的大部分的微积分预备知识。

例题的求解过程在哪里?我所看到的只是大量的文字与少量的公式。 首先, 看一个求解过程并不能教会你应该怎样思考。所以我通常试图给出一种“内心独白”, 即当你尝试求解问题的时候, 脑海中应该经历怎样的思考过程。最后, 你想到了求解问题的所有知识点, 但仍然需要用正确的方式把它们全部写出来。我的建议是, 先看懂并理解问题的求解方法, 然后再返回来尝试自己解答。

定理的证明哪儿去了? 本书中的大部分定理都以某种方式被验证了,在附录 A 中可以找到更多正式的证明过程。

主题没有次序! 我该怎么办呢? 学习微积分没有什么标准次序。我选择的顺序是有效的, 但你可能还得通过搜索目录来查找你需要的主题, 我也可能遗漏了一些主题,大家可以给我发邮件:地址是 adrian@calclifesaver.com。你一定想不到, 我可能会为你写一个附加章节。(也为下一版写, 如果有的话!)

我们学校可以用这本书作为教材吗? 这本书配有很好的习题集, 可以作为一本教材, 也可以用作一本学习指南,你的任课老师也会发现这本书很有助于备课, 特别是在问题求解的技巧方面。

这些视频是什么? 这些视频是我过去复习课的录像, 其中涉及了很多 (但不是全部)本书的章节和例题。

班纳教授的复习课视频,B 站可看,点击「链接」可跳转观看

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来看看读过的读者怎么说:

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《普林斯顿微积分读本》目录如下:

在家自学微积分,你一定要看这本书

第1章 函数、图像和直线  1

1.1 函数  1

1.2 反函数  6

1.3 函数的复合  10

1.4 奇函数和偶函数  12

1.5 线性函数的图像  14

1.6 常见函数及其图像  16

第2章 三角学回顾  21

2.1 基本知识  21

2.2 扩展三角函数定义域  23

2.3 三角函数的图像  29

2.4 三角恒等式  32

第3章 极限导论  34

3.1 极限:基本思想  34

3.2 左极限与右极限  36

3.3 何时不存在极限  37

3.4 在∞和-∞处的极限  38

3.5 关于渐近线的两个常见误解  41

3.6 三明治定理  43

3.7 极限的基本类型小结  45

第4章 求解多项式的极限问题  47

4.1 x → a时的有理函数的极限  47

4.2 x → a时的平方根的极限  50

4.3 x → ∞时的有理函数的极限  51

4.4 x → ∞时的多项式型函数的极限  56

4.5 x → -∞时的有理函数的极限  59

4.6 包含绝对值的函数的极限  61

第5章 连续性和可导性  63

5.1 连续性  63

5.2 可导性  71

第6章 求解微分问题  84

6.1 使用定义求导  84

6.2 用更好的办法求导  87

6.3 求切线方程  98

6.4 速度和加速度  99

6.5 导数伪装的极限  101

6.6 分段函数的导数  103

6.7 直接画出导函数的图像  106

第7章 三角函数的极限和导数  111

7.1 三角函数的极限  111

7.2 三角函数的导数  124

第8章 隐函数求导和相关变化率  132

8.1 隐函数求导  132

8.2 相关变化率  138

第9章 指数函数和对数函数  148

9.1 基础知识  148

9.2 e 的定义  153

9.3 对数函数和指数函数求导  158

9.4 求解指数函数或对数函数的极限  161

9.5 取对数求导法  169

9.6 指数增长和指数衰变  173

9.7 双曲函数  178

第10章 反函数和反三角函数  181

10.1 导数和反函数  181

10.2 反三角函数  187

10.3 反双曲函数  199

第11章 导数和图像  202

11.1 函数的极值  202

11.2 罗尔定理  206

11.3 中值定理  209

11.4 二阶导数和图像  212

11.5 对导数为零点的分类  215

第12章 绘制函数图像  219

12.1 建立符号表格  219

12.2 绘制函数图像的全面方法  224

12.3 例题  225

第13章 最优化和线性化  239

13.1 最优化  239

13.2 线性化  249

13.3 牛顿法  258

第14章 洛必达法则及极限问题总结  263

14.1 洛必达法则  263

14.2 关于极限的总结  273

第15章 积分  276

15.1 求和符号  276

15.2 位移和面积  283

第16章 定积分  293

16.1 基本思想  293

16.2 定积分的定义  297

16.3 定积分的性质  301

16.4 求面积  305

16.5 估算积分  313

16.6 积分的平均值和中值定理  316

16.7 不可积的函数  319

第17章 微积分基本定理  321

17.1 用其他函数的积分来表示的函数  321

17.2 微积分的第一基本定理  324

17.3 微积分的第二基本定理  328

17.4 不定积分  329

17.5 怎样解决问题:微积分的第一基本定理  331

17.6 怎样解决问题:微积分的第二基本定理  336

17.7 技术要点  344

17.8 微积分第一基本定理的证明  345

第18章 积分的方法I  347

18.1 换元法  347

18.2 分部积分法  356

18.3 部分分式  361

第19章 积分的方法II   373

19.1 应用三角恒等式的积分  373

19.2 关于三角函数的幂的积分  376

19.3 关于三角换元法的积分  384

19.4 积分技巧总结  391

第20章 反常积分:基本概念  393

20.1 收敛和发散  393

20.2 关于无穷区间上的积分  398

20.3 比较判别法(理论)  400

20.4 极限比较判别法(理论)  402

20.5 p 判别法(理论)   405

20.6 绝对收敛判别法  407

第21章 反常积分:如何解题  410

21.1 如何开始  410

21.2 积分判别法总结  413

21.3 常见函数在∞和-∞附近的表现  414

21.4 常见函数在0附近的表现  426

21.5 如何应对不在0或1处的瑕点  432

第22章 数列和级数:基本概念  434

22.1 数列的收敛和发散  434

22.2 级数的收敛与发散  438

22.3 第n项判别法(理论)   442

22.4 无穷级数和反常积分的性质  443

22.5 级数的新判别法  447

第23章 求解级数问题  455

23.1 求几何级数的值  455

23.2 应用第n项判别法  457

23.3 应用比式判别法  457

23.4 应用根式判别法  461

23.5 应用积分判别法  462

23.6 应用比较判别法、极限比较判别法和p判别法 463

23.7 应对含负项的级数  468

第24章 泰勒多项式、泰勒级数和幂级数导论 472

24.1 近似值和泰勒多项式  472

24.2 幂级数和泰勒级数  478

24.3 一个有用的极限  485

第25章 求解估算问题  487

25.1 泰勒多项式与泰勒级数总结  487

25.2 求泰勒多项式与泰勒级数  488

25.3 用误差项估算问题  491

25.4 误差估算的另一种方法  499

第26章 泰勒级数和幂级数:如何解题  502

26.1 幂级数的收敛性  502

26.2 合成新的泰勒级数  508

26.3 利用幂级数和泰勒级数求导  517

26.4 利用麦克劳林级数求极限  519

第27章 参数方程和极坐标  523

27.1 参数方程  523

27.2 极坐标  528

第28章 复数  538

28.1 基础  538

28.2 复平面  541

28.3 复数的高次幂  544

28.4 解zn = w   545

28.5 解ez = w   550

28.6 一些三角级数  552

28.7 欧拉恒等式和幂级数  554

第29章 体积、弧长和表面积  556

29.1 旋转体的体积  556

29.2 一般立体体积  567

29.3 弧长  571

29.4 旋转体的表面积  574

第30章 微分方程  578

30.1 微分方程导论  578

30.2 可分离变量的一阶微分方程  579

30.3 一阶线性方程  581

30.4 常系数微分方程  585

30.5 微分方程建模  595

附录A 极限及其证明  598

A.1 极限的正式定义  598

A.2 由原极限产生新极限  602

A.3 极限的其他情形  606

A.4 连续与极限  611

A.5 再谈指数函数和对数函数  616

A.6 微分与极限  618

A.7 泰勒近似定理的证明  627

附录B 估算积分  629

B.1 使用条纹估算积分  629

B.2 梯形法则  632

B.3 辛普森法则  634

B.4 近似的误差

在家自学微积分,你一定要看这本书

有了这本“利器”,希望大家在这段时间能够学好微积分。在疫情结束之前,我们还是不能放松警惕,希望大家能少聚集,勤洗手,多读书,多思考,说不定,你就是下一个牛顿!

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