AP微积分 知识点梳理 微积分考试分为AB与BC,与AB相比,BC包含的内容更多、难度更高。 考点包括极限、微分、积分(不定积分、定积分)、微分方程、级数(AB无此部分)、应用。 1 极限部分 这部分是微积分的基础,包含: (1)会判断极限存在或不存在,当极限存在时,如何求出该极限 (2)利用极限刻画函数的形态——渐近线(asymptote),研究函数的性质——连续性(continuous)。 1.2 求极限的方法 求a:先将a代入表达式,如果可以求出某一确定的数值,则该数值即为此函数的极限。 一般来说都是0/0或infinity/ infinity的形式, 求a:通过因式分解将0因子约掉。 求无穷大(infinity):分子分母同时除以该式子的最高次项。 另外也可用L’Hopital’sRule来做。 具体使用时,如果所求极限是0/0或infinity/ infinity的形式,可以将分子分母两部分分别求导,再计算求完导数之后的极限。 这一方法大部分国外教材与辅导书(James,Thomas,Finney,Barron)都未提及,但掌握之后会给运算带来相当大的便利。 即 这种类型的函数,做法是通过ln将其变换成指数型函数来进行运算。 0乘有界等于0 如果函数在某一点的极限值等于函数值,则称该函数在这一点连续。判断函数在某一点是否连续,必须要分别考察其左极限与右极限,如果左极限与右极限相等则说明极限存在,进而与该点的函数值比较,如果相等即为连续,不等即为间断。 一共分为三种removable,jump,infinite (1) The extremevalue theorem (EVT) (2) Theintermediate value theorem (IVT) (3) The zeropoint theorem (Bolzano theorem) 分为水平(horizontal)与垂直(vertical)。 其中水平的求法是分别求两个infinity的极限,如果存在则可判定有水平渐近线。 垂直的求法是求某一点的极限,如果该极限等于无穷(infinity),则可判定通过在这一点存在垂直渐近线。 水平(horizontal): 垂直(vertical): 2 导数与微分 简单来说,导数是切线的斜率(slope),微分是切线的改变量。 显函数,反函数,复合函数,隐函数,参数方程,极坐标
要注意的一点以哪个变量为基准求导数,默认是x,但也有特殊情况,如respectto sinx,则是将sinx看成一个整体进行求解。 它是在导数的基础之上再求一次导数,常用的是二阶导数(second derivative) 导数的直接应用是求切线和法线。 求切线的时候需要注意的是所给的点是否在已知曲线上,如果在则可直接求导代数求出切线斜率(slope),如果不在则需要先设出切点,而后通过解方程的形式把切点和斜率解出来,从而得出切线。 在某一点可导必然连续,而连续则不一定可导。 从几何图形上来看,当函数在闭区间上连续、开区间内可导时,必然存在一点c使得过c点切线的斜率等于端点连线的斜率。 利用中值定理可以对函数进行估值和给导数估值。 3 导数与微分的应用 函数的增减性可由一阶导数的正负来判断,凹凸性可由二阶导数的正负来判断。 不同的教材对这两个点的定义不同,我们这里采用比较通用的 极值(local/relative maximum and minimum):邻域内最大或最小 最值(global/absolute maximum and minimum):整个区间内最大或最小 对local来说,步骤如下: (1)求出一阶导数等于0和不存在的点 (2)利用一阶导数是否改变符号和二阶导数的正负来判定。 对global来说,步骤如下: (1)求出一阶导数等于0和不存在的点 (2)求出所有的函数值,最大的即为global max,最小的即为global min。 运动分为直线运动与平面运动,最原始变量为位置函数,由位置函数来定义位移(displacement)和路程(distance),在位移(displacement)的基础上定义速度(velocity)和速率(speed),在速度的基础上定义加速度(acceleration)。 平面运动的位置函数用向量(vector)来表示,因此后面所有的变量都是向量的形式。 直线运动的主要问题 (1)求加速与减速区间 (2)求在哪一时刻改变运动的方向 (3)求某一时间段内的路程(distance) 平面运动的主要问题 (1)速度向量、速率和加速度向量 (2)求某一时间段内的位移(displacement)和路程(distance) 这一部分是应用题,现实生活中的某一个量随时间变化而变化,进而求: (1)某一时刻该量的瞬时变化率 (2)某一时间段内平均变化率 (3)某一时间段内的累积量(积分的应用) 4 不定积分和定积分 与导数类似,不定积分这一部分主要是它的求法,基本的积分公式与运算必须非常熟练。 (1)换元法(substitution):将被积函数的某一部分用另外的变量代替,从而将被积函数化简,使用积分基本公式得出结果。 (2)分部积分法(integral by parts):适用于求两类不同函数乘积的积分,核心是通过交换来改变被积函数,从而将难求的变成容易求的。 (3)有理函数积分:对于分母是1次和2次的形式有固定的套路,掌握即可。 1.黎曼和(Riemann sum) 使用近似逼近的方式来求面积,常用的是左端点、右端点、中点、梯形来做估计,步骤如下 (1)将区间等分成n份(也可不等分) (2)按照预先设定的规则求出每一部分的面积 (3)加总。 利用黎曼和对定积分或面积进行估值,需要比较估计值和真实值的大小,可比较的是左端点、右端点和梯形三种估计方法,中点由于大小不易确定,较少出现。 黎曼积分则是在加总之后求极限,那么该极限值应该等于图形面积的真实值,也就是定积分的值(黎曼可积)。 2.求定积分的基本方法 牛顿-莱布尼茨公式,使用该公式时先求不定积分,再代入数值,因此不定积分的方法都可以在这里使用。但是需要注意的是,使用换元法的时候,变量的取值范围会发生变化。 3.求定积分的特殊方法 (1)对于某些规则图形(三角形、圆等)可用其几何意义直接算出面积,再利用定积分和面积之间的关系来求 (2)利用奇函数和偶函数的性质来求。 4.积分中值定理 求函数在某一个区间上的平均值或积分中值,使用如下公式即可。 5.变限积分 当被积函数确定时,积分值会随着积分区间的变化而变化,因此可将积分值看做积分区间的函数,其中需要掌握的是变限积分的求导。
当积分区间不是有限区间(即包含无穷大)或积分区间会使被积函数为无界的时候,求积分需要用到极限,如果极限存在,则称积分收敛(converge),不存在则称为发散(diverge)。 5 定积分的应用 求平面曲线围成的平面图形的面积,一般来说是给定一条或若干条曲线,求它与x轴、y轴或其他直线或曲线围成图形的面积。 对于直角坐标系,使用定积分的几何意义来求,但需要注意的是面积永远是正数,而积分值有正有负,因此当函数大小关系或区间的边界发生变化时,要注意区别对待。 面积公式与直角坐标不同,特别需要注意的是积分的范围,如果不好判断,可用半径来反求角的范围。 求平行截面面积已知的立体图形的体积和旋转体体积,第一种图形对截面面积求积分可得体积,第二种图形有两种求法,第一种也是对截面面积求积分,不过要注意旋转截面是实心圆还是圆环,第二种是利用shell来求,掌握好展开后的圆柱壳的长宽高即可。 弧长公式用四种,一般来说在考试中如果是不允许使用计算器的部分,只会要求考生列出计算公式,不要求算出数值,而允许使用计算器的部分则可利用计算器来计算弧长的数值。 6 微分方程 对变量可分离的微分方程,解法是将x和y分离后,等式两边同时求积分。 根据微分方程原函数每一点切线斜率计算出来,而后将与该点切线斜率相同的线段画在坐标系中,由此所形成的图形即为斜率场。斜率场所描绘出的图形即为微分方程的解。 分为三种: 指数型增长(exponentialgrowth) 有限制的增长(restrictedgrowth) 逻辑斯蒂增长(logisticgrowth) 多次使用中值定理进行估值,此时c不再任取,而是固定取每一步的起始值。 7 级数(series) 无穷级数(infiniteseries)、幂级数(powerseries)、泰勒级数(Taylorseries)。 分为正项级数(positive)、交错级数(alternating)。 这部分的核心是如何判断一个级数是收敛(converge)还是发散(diverge)。 1 正项级数(positive) 判别法有三类五种,分别是积分(integral)、比值与根值(ratio and root)、比较及极限(comparison and limit comparison)。 2 交错级数(alternating) 莱布尼茨准则(Leibniz) 收敛(converge)分为绝对收敛(absolute converge)和条件收敛(conditional converge)。 3 判定顺序 (1)将级数加绝对值取正 (2)对通项求极限,若极限不等于0,则可判定为发散,若等于0,则(2.1)利用积分(integral)、比值与根值(ratio and root)、比较及极限(comparison and limit comparison)判定,若收敛,则原级数绝对收敛,若发散,则(2.1.1)若原级数为交错级数,利用莱布尼茨准则判断,若收敛,则为条件收敛,否则为发散。 利用比值法求出收敛半径(radius of convergence)和收敛区间(收敛域)(interval of convergence)。 幂级数的性质: 幂级数在收敛区间内(1)连续(2)可微(3)可积。 (1)将函数展开为泰勒级数 (2)求泰勒级数的和函数。 AB与BC考点对比 |
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