研究性课题：多面体 欧拉公式的发现

	学科：数学
	教学内容：研究性课题：多面体  欧拉公式的发现

 

【基础知识精讲】

1.多面体的概念和分类

由若干个多边形所围成的几何体，叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱，若干个面的公共顶点叫做多面体的顶点.

把多面体的任何一个面伸展为平面，如果所有其他各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸面体，图1是凸多面体，图2不是凸多面体，前面学过的棱柱，棱锥都是凸多面体.

一个多面体至少有四个面，多面体按它的面数分别叫做四面体、五面体、六面体.

2.正多面体的概念

为了更好地弄清正多面体的概念，我们讲一讲与多面体有关的一些其他概念.

多面角：从一点出发并且不在同一平面内的几条射线，以及每两条相邻射线之间的平面部分叫组成的图形.

如图所示是一个多面角，记作多面体S—ABCD，或者多面角S.

             

图中射线如SA叫做多面角的棱，S叫做顶点，相邻两棱如SA、SB之间的平面部分叫做多面角的边，∠ASB为多面角.每相邻两个面角间的二面角为多面角的二面角，如E—SA—B.

正多面体：如果多面体的各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角，这样的多面体叫做正多面体.

3.正多面体的性质

(i)正多面体的所有的棱，所有的面角和所有的二面角都相等.

(ii)经过正多面体上面的中心所在面的垂线相交于一点，这点到各顶点的距离相等，到各面的距离也相等.

(iii)正多面体各面与经过它中心的垂线的交点叫做正多面体的中心.

定理：任何正多面体有一个内接球和一个外切球，这两个球同心.

(iv)正多面体只存在五种：

因为一个多面角的面数至少是三，并且它的各面角的和必须小于360°，而正n边形的每个内角等于，所以，由正三角形组成的正多面体只有三种：正四面体、正八面体和正十二面体；由正方形组成的正多面体只有一种：正六面体；由正五边形组成的正多面体也只有一种：正十二面体.

书中是这样定义正多面体的：每个面都是有相同边数的正多边形，且以每个顶点为其一端都有相同的数目的棱的凸多面体，叫做正多面体.其实质是一样的.

4.欧拉公式

如果简单多面体的顶点数为V，面数F，棱数E，那么V+F-E＝2，这个公式叫做欧拉公式.

计算棱数E常见方法：

(1)E＝V+F-2

(2)E＝各面多边形边数和的一半

(3)E＝顶点数与共顶点棱数积的一半

 

【重点难点解析】

本节是新增内容，教学要求只是了解，作为知识的综合性与联系，重点应掌握正多面体的概念，尤其是正四面体和正方体的性质，难点是欧拉公式

例1  下列几何体是正多面体的是(    )

A.长方体                B.正四棱柱

C.正三棱锥              D.棱长都相等的三棱锥

解：  选D.因为棱长都相等的三棱锥就是正四面体.

例2  对于下列命题：(1)底面是正多边形的，而侧棱长与底面边界长都相等的棱锥是正多面体；(2)正多面体的面不是三角形，就是正方形；(3)若长方体的各侧面都是正方形时，它就是正多面体；(4)正三棱锥就是正四面体。其中正确的序号是             .

解：  (2)显然不对，∵正十二面体每个面都是全等的正五边形.

(1)所给的几何体是正棱锥，作为正棱锥每个侧面都是全等的正三角形，底面正多边形是任意的，而作为正多面体的所有面必须是全等的正多边形，故(1)、(4)不对.∴应填(3).

例3  一个凸多面体有8个顶点，①如果它是棱锥，那么它有      条棱，     个面；②如果它是棱柱，那么它有      条棱      个面.

解：  ①如果它是棱锥，则是七棱锥，有14条棱，8个面

②如果它是棱柱，则是四棱柱，有12条棱，6个面

 

【难题巧解点拨】

例1  一个凸多面体的各面都是五边形，求多面体的顶点数V与面数F之间的关系.

解：  ∵凸多面体各面是五边形，且面数为F.

∴该凸多面体的棱数E＝F，代入欧拉公式：V+F-F＝2  即2V-3F＝4.

例2  一凸多面体的棱数为30，面数为12，则它的各面多边形的内角总和为(    )

A.5400°        B.6480°        C.7200°        D.7920°

解：  由欧拉公式，V＝E-F+2＝30-12+2＝20

∴内角总和为(V-2)×360°＝6480°，  ∴应选B.

例3  将边长为a的正方体各侧面中心连结起来得到一个正八面体，求此正八面体的体积.

解：  根据正方体与正八面体的联系.可知正八面体的高为a，侧棱长为＝a，而正八面体可分为两个正四棱锥.

故  V＝2×(a)²××＝.

说明  用分割的方法把八面体分割成两个锥体，然后求体积.

例4  在正四面体ABCD中，E、F分别为棱AD、BC的中点，连接AF、CE，

(1)求异面直线AF、CE所成角的大小；

(2)求CE与底面BCD所成角的大小.

解：  (1)如图所示，设正四体棱长为a.在平面AFD内作EG∥AF交DF于G，那么CE与GE所成非钝角的角就是异面直线AF、CE所成的角.由于正四面体的各个面是正三角形，所以AF＝CE＝DF＝a,GF＝EG＝AF＝a,CG²＝CF²+GF²＝(a)²+(a)²，即CG²＝a²，于是CG＝a.

在ΔCEG中，cos∠CEG＝，所以cos∠CEG＝，于是∠CEG＝arccos.

因此AF、CE所成的角为arccos.

(2)作AO⊥DF于O，则AO⊥平面BCD，在平面AFD内作EH∥AO交FD于H，那么EH⊥平面BCD，且EH＝＝＝a,CE＝a，显然∠ECH就是CE底面BCD所成的角.在RtΔEHC中，sin∠ECH＝＝a∶a＝，所以∠ECH＝arcsin.

例5  如图所示，四面体ABCD的棱长为1，求AB与CD之间的距离.

分析  AB与CD显然异面，这是求解异面直线间的距离问题，取AB、CD的中点E、F，连EF，可设想EF就是公垂线段。事实上，连EC、ED，易知EC＝ED，所以EF⊥CD.同理EF⊥AB.

所以EF就是AB与CD之间的距离.

解：  ΔABC、ΔABD都是边长为1的正三角形，所以EC＝ED＝.

又在RtΔEFC中，FC＝，EC＝，

因此EF＝＝＝.

 

【命题趋势分析】

本节为新增内容，只要求了解，高考单独出题可能性不大.

 

【典型热点考题】

例1  如图，在多面体中，大小不等的正方形A′B′C′D′、ABCD所在面相互平行，A′D′所在的直线与BB′所在的直线是(    )

A.相交直线                      B.平行直线

C.不互相垂直的异面直线          D.互相垂直的异面直线

解：  由于A′D′在上底面A′B′C′D中，而BB′只与该平面有一个交点B′，且B′不在AD′上，所以A′D′与BB′是异面直线，应排除A、B.

如果A′D′与BB′垂直，由B′C′∥A′D知BB′⊥B′C′，而此时多面体已变成了棱柱，所以A′D′与BB′是不互相垂直的异面直线，应选C.

例2  由一个正方体的三个顶点所能构成的正三角形的个数为(    )

A.4               B.8             C.12            D.24

解：  在共有一个顶点的三个两两垂直的面上，各面有一对角线共同组成惟一的正三角形，这样在正三角形和顶点之间建立了一一对应，而正方体共有8个顶点.

∴恰好有8个正三角形，选B.