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3、多面角----球面三角部分关键内容简介 在球面几何-球面三角中，一个基本概念是三面角，三面角的每个面本身所张的平面角称为边，由其余两面限定，而面与面两两之间所夹的平面角称为角，可以推导出，三面角的三个角之和超出180度或πrad，而超出的这部分，正好等于这个三面角所张的立体角，即： Ωt=ε=A+B+C-π ——3.1 这是关于立体角的一个重要而基本的关系。通过将多面角分割为若干三面角，可求得多面角所张的立体角。如正n面角可分割为n-2个相同的等腰三面角，故其立体角为： Ω=（n-2）ε， ——3.2 由于在诸ε中多余加入了自分割轴张出的一个轴角（二面角）2π/（n-2），故 ε，=ε-2π/（n-2） ——3.3 4、多面体 多面体与立体角关系密切，欲深入了解立体角，从而对“空间”这个哲学、数学概念增加理解，不妨多观察多面体。 4.1. 认识(正)多面体的部分早期历程 长方体以至正方体（正六面体）是人们早就有所了解的多面体，但先后发现5种正多面体，主要应是约公元前500年古希腊人的功劳；据记载，毕达哥拉斯学派已知有正四、六、八面体，特埃特图斯追加了正十二面体和正二十面体。 这5种正多面体首次同时出现，可能是在柏拉图的《蒂迈欧篇》中，蒂迈欧对苏格拉底所说的一段话里。这段话对正多面体的描述并不很清晰，但5种正多面体却因此被称为柏拉图立体。蒂迈欧神秘地将四种正多面体（除了正十二面体外）与古希腊哲学中的四个原始元素(火、气、水、土)分别联系在一起，而正十二面体被视为以太或宇宙的形态。 稍后，成书于公元前300年左右的欧几里得《几何原本》，在第13卷之命题13-17分别探讨了正四、八、六、二十、十二面体的作图问题，命题18对它们有所比较，并断言正多面体只有这5种。 但在一定意义上，球体也可以视为具有无穷多个面的第6种正多面体(也有人定义，正多面体只能有有限多个面)，每个面都是正三角形或正六边形； 若球半径无穷大，则每个面的面积可以任意大(但不应是无穷大)； 若球半径为有限值(但不应是无穷小)，则每个面的面积为无穷小。 正多面体而外，对称性较强的多面体中，有被称为阿基米德立体的凸多面体和被称为开普勒-庞索立体的凹多面体。 1596年开普勒出版的《宇宙的神秘》一书中，煞费苦心地将当时已知的几大行星轨道与几种正多面体嵌套相联系；直到近年，国外仍有天文学家试图使人们相信，宇宙是个正十二面体，但似乎还拿不出令人信服的证据。 |
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