地砖上的数学

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　　随着人们生活水平的提高，家庭装修已成为一种时尚追求．在家庭装饰中，地砖的铺设就是一项非常重要的美化工作．当你看到地砖铺成的美丽图案时，你是否想到展铺这美丽图案的数学原理呢？请看下面的分析．相信通过对下文的阅读，你不仅能弄清楚本章有关瓷砖铺设问题中的数学道理，而且还可通过对丰富多彩的图案的欣赏，体验到数学的美，提高你的审美情趣．

　　地砖展铺的图形，一般都是用几种完全相同的平面图形展铺开来的，有时用由直线构成的多边形组成的图案，有时用由曲线组成的图案，千变万化．但是作为基础还是用平面多边形展铺平面．有时虽然有曲线，却常常是由多边形和圆作适当变化而得到的．例如，一个由正方形展铺的平面图案（如图（a）），如果对正方形用圆弧做一些变化（如图（b）），那么把两个以上图形结合起来设计，就可由比较单调的正方形图案，变化曲线形成花纹图案了（如图（c））．

　　由于多边形是构成地砖展铺复杂图形的基础，因此，下面我们对利用多边形展铺平面图形做些简要分析．相信经过以下分析，同学们一定能轻而易举地解决本章第一节提出的问题，为什么有些图形能不留一点空隙的将地面铺满，而有些图形则不能满足要求．同时一定会有一种恍然大悟的感觉．

　　1．怎样以三角形为基础展铺平面图案？

　　三角形是多边形中最简单的图形，如果用三角形为基本图形来展铺平面图案，那么就要考虑三角形的特点．由于三角形的三个内角和为180°，所以要把三角形的三个角集中到一起，就组成了一个平角．如果要在平面上一个点的周围集中三角形的角，那么必须使这些角的和为两个平角．因此，若把图中的三角形的三个内角集中在一起，并经过轴对称或中心对称，就可以得到集中于一点的六个角，它们的和为360°，刚好覆盖上这一点周围的平面．对称的方法见图：

　　　

　　在中心对称的情况下，三角形不翻折，在轴对称的情况下，三角形要翻折．如果把三角形正、反两面涂上颜色，那么通过对称，正、反两面就会明显地反映出来了．

　　由上面的分析可知，用三角形为基本图形展铺平面图案，共有以下四种情况，如图：

　　2．怎样以四边形为基础展铺平面图案？

　　由于四边形的内角和为360°，所以，任何四边形都可以作为基本图形来展铺平面图案．如图中的（a）、（b）、（c）、（d）分别是以矩形、菱形、梯形、一般四边形为基本图形的平面展铺图案．

　　3．怎样以正多边形为基本图形展铺平面图案？

　　用正多边形为基本图形展铺平面图案，集中于一点的周围的正多边形的各个内角的和应是360°．例如，正五边形一个内角为 ；正十边形一个内角为 ．如果把两个正五边形的内角与一个正十边形的内角加起来，则其和为2×108＋144°＝360°．但是它们并不能用来展铺平面．

　　如果用同种的正n边形来展铺平面图案，在一个顶点周围集中了m个正n边形的角．由于这些角的和应为360°，所以有：

　　 ，

　　即 ，

　　即

　　因为 都是正整数，并且 ．所以 也都必定是正整数．所以当 ，即 时， ；当 ，即 时， ；当 ，即 时， ；而当 ，即 时， ，即 ．这就证明了只用一种正多边形展铺平面图案，只存在三种情况：

　　（1）由6个正三角形拼展，我们用符号（3，3，3，3，3，3，）来表示（如图）．

　　（2）由4个正方形拼展，我们用符号（4，4，4，4）来表示（如图）．

　　（3）由3个正六边形拼展，我们符号（6，6，6）来表示．

　　如果用两种正多边形来拼展平面图案，那么就有以下五种情况：（3，3，3，4，4），（3，3，3，3，6），（3，3，6，6），（3，12，12）以及（4，8，8）．这五种情况中，（3，3，3，4，4，）和（3，3，6，6）又各有两种不同的拼展方法，如图列出其中六种拼展图形．

　　用三种正多边形展拼平面图形就比较难设计了，如图举出两例供同学们思考．

　　有兴趣的同学请自己构想出一两个例子．