自然常数e的真正含义

1.

e是一个重要的常数，但它的真正含义是什么？

π大家都知道代表了圆的周长与直径之比，π≈3.14159。倘若我问你，e代表了什么。你能回答吗？

百度/维基百科都说说：

'e是自然对数的底数。'

但是你去搜'自然对数'，得到却是：

'自然对数是以e为底的对数函数，e是一个无理数，约等于2.718281828。'

那e究竟是什么？ 为何数学家选择这样一个无理数作为底数，还号称这种对数很'自然'呢？

2.

简单说，e就是增长的极限。

下面我们来具体解释

3.

假定有一个单细胞生物，它每过24小时分裂一次。

那么这种生物的数量，每天都会翻一倍。今天是1个，明天2个，后天4个。我们可以写出一个数量增长的公式：

其中，x表示天数。这种生物在第x天的总个数就是2的x次方。上式可以被改成为：

其中，1表示原有数量，100%代表单位时间内的增长率。

4.

我们假定：倘若每过12个小时，新产生的那半个细胞就可以再次分裂了。

那么，一天24个小时可以分成两个阶段，每一个阶段都在前一个阶段的基础上增加50%。

即24小时后有2.25个细胞产生。

其中，1个是原有的，1个是新生的，另外0.25个是新生细胞分裂的。

如果我们修改假设：每过8小时就新产生细胞就具备分裂的能力，即1天分成3个阶段。

那么，24小时后我们可以得到大约2.37个细胞。

如果我们进一步设想，这种分裂是连续不断进行，新生细胞每分每秒都具备持续分裂能力，那么一天可以得到多少个细胞呢？

当n趋向无限大时，这个式子的极值等于2.718281828...。

因此，当增长率为100%保持不变时，我们在单位时间内最多只能得到2.71828个细胞。数学家把这个数就称为e，它的含义是单位时间内，持续的翻倍增长所能达到的极限值。

这个值是自然增长的极限，因此以e为底的对数，就叫做自然对数。