高中数学：线性规划的应用

求线性目标函数在线性目标条件下的最值问题称为线性规划问题。基本步骤是：

1、确定好线性约束条件，准确画出可行域。

2、对目标函数z=ax+by,若b>0，则取得最大值（或最小值）时，z也取得最大值或最小值；若b<>则反之。

3、一般地，可行域的边缘点有可能是最值点，有些问题可代入边缘点找最值.

4、注意实际问题的特殊要求。

例、有一批钢管，每根长度都是4000mm,现在要将每根钢管截成长为500mm和600mm的两种毛坯，且这两种毛坯的数量比大于，问：怎样截最合理？

分析：设每根钢管截成的500mm毛坯为x根，600mm毛坯为y根，则根据已知条件可列出对应的线性约束条件，所谓的最合理应是每根钢管截出的两种毛坯最多。即z=x+y取得最大值，但要注意x,y都是正整数，即在可行域内要找到整点。

解：设每根钢管截成的500mm毛坯为x根，600mm毛坯为y根。

则        且z=x+y，（关键是求z的最大值）

作出可行域（如图所示的红色阴影部分。）

作直线x+y=0向上平移经过可行域内的点且与原点距离最大的点是B（8,0） 即x+y=8,x>0,y>0,故不合题意。继续向下平移直线使x+y=7 ,显然在可行域内使x+y=7的整数点有（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1）

即x=2,y=5或x=3,y=4或x=4,y=3或x=5,y=2或x=6,y=1都是最优解。

说明：线性规划在实际应用时常涉及整数解的问题，一般的处理方法是：若区域的顶点恰为整点，则在包含边界的情况下它就是最优解，若区域的顶点不是整点或不包括边界，应先求出该点的坐标，并计算目标函数值z，然后在可行域内适当放缩目标函数值，使它为整点，且与z最接近，在这条对应的直线上取可行域内的整点，若还有没有整点，则继续放缩，直至取到整点为止。