巧解简单的线性规划问题

一般地，求线性目标函数在线性约束件下的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题。生产实际中有许多问题都可以归纳为线性规划问题。因此，线性规划问题成为考题的新热点。                   

下面谈谈如何快速解答此类问题。

实例引入

例一：求z=3x+2y的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件

解：作出可行域

如图1，为便于叙述，不妨将各不等式标上号。K₁表不等式（1）所对应的直线的斜率。其它依次类推。

第一  找可行域

我们一般采取“直线定界，特殊点定域”的方法找一元二次不等式所在平面区域。但我们还有更直接的方法快速确定一元二次不等式所在区域。

规律一：

若A＞0，

Ax+By+C＞0在Ax+By+C=0的右方；

（如例一的2x-y+2≥0（2）和x≥0（4））

Ax+By+C＜0在Ax+By+C=0的左方。

（如例一的x+y≤4 （1）和2x-y≤3（3））

若A＜0，化为A＞0的形式；

若A=0，不妨使B＞0

By+C＞0在By+C=0的上方；  

（如例一的y≥0（5））

By+C＜0在By+C=0的下方。

（注：对Ax+By+C≥0或Ax+By+C≤0的形式，只要加上Ax+By+C=0即可。）

第二  不画目标函数的图像求最大值或最小值                

(斜率比较法)

当我们将一元二次不等式组所表示的平面区域即可行域画出后，一般要将目标函数所在的直线系画出，并在可行域内平行移动寻找最优解。这种做法直观、具体，但对作图的准确性要求高。现归纳出规律二，它不用画目标函数图像，通过比较围成可行域的直线的斜率与目标函数的斜率来求最大值或最小值。

现考察各不等式所对应的直线的斜率。

（注：k₁为不等式(1)所对应的直线的斜率，其他以此类推。）

目标函数z=3x+2y的斜率为k=

规律二：“求大”口诀（“求大”即求目标函数的最大值）

1. 斜率不同号，或为零，向右移；

2. 斜率若同号，大向下，小向上；

3. 斜率不存在，正向下，负向上；

4. 斜率若相等，值一样，不会变。

（注：第2、3点可联系直角坐标系的原点记忆，Y轴上大的正数要接近原点须向下移，Y轴上小的负数要接近原点须向上移。）

1. 斜率不同号，或为零，向右移具体解释为：当围成可行域的某直线的斜率为零、或与目标函数的斜率不同号时，目标函数所在的直线系在此直线的右方移动值变大。（如例一的(2)