高中数学：二元一次不等式(组)表示的平面区域

直线把平面内不在直线上的点分成两部分，同一侧的点的坐标代入Ax+By+C中的值的符号相同，异侧的点的坐标代入Ax+By+C中的值的符号相反。

对于直线Ax+By+C=0当B≠0时，可化为：y=kx+b的形式。对于二元一次不等式表示的平面区域是直线y=kx+b的上方（包括直线y=kx+b）.对于二元一次不等式表示的平面区域是直线y=kx+b的下方（包括直线y=kx+b）

注意：二元一次不等式与二元一次不等式

表示的平面区域不同，前者不包括直线Ax+By+C=0,后者包括直线Ax+By+C=0.

一、有关平面区域的问题

例1、①画出下列不等式组表示的平面区域。

②写出图（2）表示的平面区域对应的不等式组。

分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的公共部分。

①解：不等式x<>表示的平面区域是直线x=3左边的区域（不包括直线x=3）

不等式表示的平面区域是直线2y=x上方的区域（包括直线2y=x）

不等式的平面区域是直线3x+2y=6上方的区域（包括直线3x+2y=6）

不等式3y<>表示的平面区域是直线3y=x+9下方的区域（不包括直线3y=x+9）（如图（1））

图（1）

图（2）

②解：由图中的数据知：直线L₁的方程是：，直线L₂的方程是y=2,直线AB的方程是：

。

故图中的平面区域是不等式组表示的平面区域。

注意：在由不等式（组）画平面区域的时候，要注意是实线还是虚线。

二、由平面区域研究整数点的问题

例2、（1）满足线性约束条件的可行域中有多少个整点可行解？

（2）求满足不等式整点（x,y）的个数及平面区域的面积。

分析：求可行域中的整点的个数常用的方法：首先作出准确的可行域，其次在可行域内找格点。

解：（1）作出可行域如图（1），由图知：可行域中的整点可行解有三个（0，0），（1，－1），（2，－2）

（2）对x,y的符号进行讨论，去掉绝对值，有如下的四种情形：

（i）x>0,y>0时，不等式化为：，（ii）x<>，y<>时，不等式化为：

（iii）,x>0,y<>时，不等式化为：,（iv）,x<0,y>0时，不等式化为：。

针对上述四种情形：画出可行域如图（2）。按x,y取整数连成网格找格点。

共有：个。

平面区域是一个边长为的正方形。故所求平面区域的面积是32

图（1）                                                   图（2）

三、求线性及非线性目标函数的最值问题

例3、已知求下列目标函数的最值或取值范围。

（1）求z=x+2y－4的最大值。（2）求的最小值。（3）求的取值范围。

分析：（1）只要求出线性目标p=x+2y的最大值就可以求出z的最大值。

（2）=（x－0）²+（y－5）²,故z可以看作可行域内任意一点P（x,y）到定点Q（0,5）的距离的平方。即要求z的最小值，只需求|PQ|²的最小值。

（3）由=知：z表示可行域内的任意一点Q（x,y）与定点T 的连线斜率的2倍，故要求z的取值范围，只需求斜率的取值范围。

解：（1）利用图解法求线性函数p=x+2y的最大值。

由已知得：A（1,3）,B（3,1）,C（7,9）. 令x+2y=0，并把该直线向上平移，显然过可行域内点C时p=x+2y最大，此时p的最大值是25，即z的最大值是21.

（2）过定点Q作AC的垂线（如图），垂足是M . 即|QM|是 |PQ|的最小值。

由点到直线距离公式得：|MQ|=.故z的最小值是。

（3）由图知：定点T（与可行域内的点的连线斜率最大是,最小的是

由斜率公式得：=,

故z的取值范围是：2