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简谐振动在物理学中是非常重要的，有些人甚至说物理学家只研究简谐振动（匀速直线运动太简单了，不是简谐振动的运动又太难了），同一系列的推导会在后续的学习中反复出现，比如学量子力学的时候还会推一编（简谐振子的量子化），学固体物理的时候还会推一编（声子），学量子场论的时候还会推一编（电磁场的量子化）…… 现在我们在高中物理（牛顿力学）的知识背景下进行推导。 假设有一根弹簧，弹簧的弹性系数是k，弹簧的一端是质量为m的滑块，假设弹簧和滑块是水平放在桌面上的（忽略摩擦），这样我们就不需要考虑滑块本身重量对弹簧的拉长了。 滑块在弹性回复力的作用下将在平衡位置附近做简谐运动。 假设我们不对滑块施以任何力，此时滑块会位于一个“平衡”位置不动，我们假设这个位置是0，即坐标的原点。 现在假设我们水平地向右拉动滑块到x位置，弹簧被拉长了x，弹簧的弹性力是-kx，负号表示弹力和x的方向正好相反。 根据牛顿第二定律，此时滑块的运动由这个方程描述：F=ma，即： 在上式中我们已经把滑块的运动表示成了一个“二阶常微分方程”，二阶常微分方程的求解需要知道两个初始条件，在这里我们可以假设t=0时，滑块的位置是a，滑块的速度是0。 我们把上面的二阶常微分方程写成更好看的样子： 我们一般把k/m改写为： “x上面有两点”，表示的是x对时间t求两次导数： 我们要求的就是x(t)，即位置x随时间t变化的规律。 现在考虑试探解： 这里A和φ是两个待定系数。 x对时间求一次导数： 继续再求一次导数： 我们发现这样的x(t)就是我们要找的解，而且是个通解，因为里面有两个待定系数，正好可以用初始位置x(0)和初始速度v(0)来确定。 针对我们这里的初始条件，x(0)=a，v(0)=0，我们得到的解是： |
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