【原】常微分方程的级数解

在科学研究中，经常需要解含有未知函数的导数的方程，这就是微分方程。如果方程中只含有对未知函数的一个自变量的导数，这个方程就被称为常微分方程，如果方程中含有对未知函数的多个自变量的导数，这个方程就是偏微分方程。求解微分方程的基础是求解常微分方程，含有任意个自变量的偏微分方程可以通过某种途径转化成多个常微分方程。在常微分方程中，最常见的是二阶常微分方程，即含有对未知函数的自变量求二阶导数的微分方程。在二阶微分方程中，二阶线性齐次常微分方程又是最基本的微分方程，因此，我们来讨论这种最基本的常微分方程。

二阶线性齐次常微分方程具有如下的标准形式：

其中对自变量的最高阶导数是二阶导数，它前面的系数等于1。对于更高阶的微分方程，也会写成类似这样一种标准形式，它能够直接告诉我们这个方程的最高阶导数项是哪一阶导数。在二阶常微分方程的这个标准形式中，如果两个系数在某点都是解析的，该点就叫做方程的常点；如果至少有一个系数在某点不解析，该点就叫做方程的奇点。对于无穷远点，必须作变换 t=1/z，由此得到 dt/dz=-t²，利用这个结果将对 z 求导数转换成对 t 求导数。对 z 求一阶导数是这样转换的：

对 z 求二阶导数是这样转换的：

把它们代入以 z 为自变量的标准方程中，得到一个以 t 为自变量的方程：

稍作整理后将其化成标准形式：

引入两个新的函数：

就能够明显地看出，上述方程具有二阶常微分方程的标准形式，只不过自变量由  z 变成 t 吧了：

现在，只要按照前面的方式，考察 t=0 点的特性，就可以对无穷远点的奇异性做出判断。

一个简单的例子是勒让德方程，这是在科学研究中经常遇到的一个常微分方程，许多微分方程经过一系列数学变换最终都可以化为勒让德方程：

把这个方程改写成标准形式，就得到两个系数：

显然，在 z=±1 这两个点，两个系数不解析。对于无穷远点，方程的两个系数具有以下形式：

我们看到，t=0 是其中一个系数的奇点。由此可见，勒让德方程有三个奇点：z=±1,∞。

另一个例子是超几何方程。超几何方程也是在科学研究中经常遇到的一个微分方程：

许多实际的物理方程经过一系列数学变换最终都可以化为超几何方程。把这个方程写成标准形式，就得到它的两个系数：

结果发现，z=0,1 是两个系数的奇点。对于无穷远点，两个以 t 为自变量的系数

我们又得到了 t=0 这个奇点。于是，超几何方程也有三个奇点：z=0,1,∞。

让我们回到求解常微分方程的理论问题上去。如果常微分方程

的两个系数在圆 |z-z₀|<R 内单值解析，则在这个圆内，以下初值问题

有唯一的解，它在这个圆内单值解析。于是，可以把初值点作为展开点，将常微分方程的解在初值点的这个邻域圆内展开成泰勒级数：

把初值点代入这个级数解中得到：

w(z₀)=c₀，w'(z₀)=c₁

利用初条件就可以得到两个基本系数：

c₀=s₀，c₁=s₁

有了这两个基本系数，把解的级数表达式代入微分方程中，通过比较就可以得到各个系数之间的递推关系，从而得到唯一的解。