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幻方，也称九宫格，宋代数学家杨辉称之为纵横图，是我国一种传统数字游戏。今天极客数学帮就从从“河图”、“洛书”开始，带大家一起欣赏幻方的数学之美，我们一起来看看吧。 一、幻方的起源  幻方是将从1到若干个数的自然数排成纵横各为若干个数的正方形，使在同一行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等。古时候幻方经常在官府、学堂等场所出见，后来通过印度、阿拉伯等地传到西方，因其奇幻的特性，被称为Magic Square，即“幻方”或“魔方”。 关于幻方的起源，中国有“河图”和“洛书”之说。河图与洛书这两幅中国古代流传下来的神秘图案，历来被认为是河洛文化的滥觞，中华文明的源头，被誉为“宇宙魔方。《易·系辞上》说: “河出图，洛出书，圣人则之”，就是指这两件事。  相传在远古时期，伏羲氏取得天下，把国家治理得井井有条，感动了上天，于是黄河中跃出一匹龙马，背上驮着一张图，作为礼物献给他，这就是“河图”，也是最早的幻方。伏羲氏凭借着“河图”而演绎出了八卦。
 后来大禹治水时，大禹与士兵正在河边观察洛河水清，商议治理黄河大计，黄河支流洛水中浮出一只大乌龟。他们看到乌龟在河里上下翻腾觉得十分奇怪，便走近仔细观看，发现它的背上有图有字，人们称之为“洛书”。“洛书”所画的图中共有黑、白圆圈45个，正好对应着从1到9九个数字，并且无论是纵向、横向、斜向、三条线上的三个数字的和都等于15，当时人们并不知道，这就是现代数学中的三阶幻方。  除了三阶幻方以外，根据正方形的行、列数不同还有四阶幻方、五阶幻方等等。1969年上海浦东陆家嘴陆深家族墓地挖出了一块元朝时代伊斯兰教信徒所挂的玉挂，玉挂的另一面就是一个四阶幻方，人称“青玉幻方” 
二、幻方的特征  幻方到底有什么样的魔力，引得古今中外的数学家都来研究呢？我们以三阶幻方为例，看看幻方里深藏着的数学的美。 首先看这一个三阶幻方。如果你把每一行（共3行）、每一列（共3列）以及2条对角线一共8条线上各自3个数字加起来会得到什么结果吗？没错，和都是18。我们把这个和称为幻和。三阶幻方最中心的那个数我们称为“幻心”。通过观察我们又可以发现：幻和=幻心的三倍。  有了这个最基本的特征，来试试完成这个幻方吧：  其次，我们再看看下面这个幻方中用圆圈和三角圈出的两对数有什么规律吗？  我们发现所给的2组数对的和是相等的，都为10 ，而且还等于幻心5的两倍，即：幻心=两边数和的一半。 在这个幻方中还有其他相同规律的数对吗？相信细心的你发现一共有八个这样的数对呢。带着这个规律，在下面的幻方里填一填吧。  最后，我们再看看这两个幻方圆圈圈出来的三个数之间有什么关系呢？如左图中，如果我们把8称为角（落）格（子）里的数，那么9和7这两个与它不相邻的边格里的数加起来的和16恰为8的两倍。归纳为：角格上的数 = 不相邻两个边格数和的一半。
当然，每个三阶幻方角格里的数有四个，所以这样的三角形关系也有四组。 三阶幻方的三个常见特征都掌握了，来挑战下面这个幻方吧！ 三、幻方的构造方法 我国古代的学者从数学、哲学、文学及美学等各个角度对幻方进行了细致的研究。南宋数学家杨辉，是最早系统研究幻方的数学家。在他著的《续古摘奇算法》里介绍了一种幻方的构造方法：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出。”翻译为：只要将九个自然数按照从小到大的递增次序斜排，然后把上、下两数对调，左、右两数也对调；最后再把中部四数各向外面挺出，就构造了一个三阶幻方。 在一些文学作品中也出现了幻方的影子。《射雕英雄传》中郭靖黄蓉二人被裘千仞追到黑龙潭，躲进瑛姑的小屋。瑛姑出了一道题：数字1~9填到三行三列的表格中，要求每行、每列、及两条对角线上的和都相等。这道题难倒了瑛姑十几年，但却被黄蓉一下子就答出来了，她的口诀是：九宫之义，法以灵龟，二四为肩，六八为足，左七右三，戴九履一，五居中央。 幻方之美在于其内在的数学原理，在于其外在的完美形态，更在于它无穷无尽的变幻。每个幻方以整齐划一、均衡对称、和谐统一的特性，迸发出耀人的数学之美的光辉。 |
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