数字之舞——简单数字背后的奇妙规律

让数字起舞

通过上篇介绍的一道经典的数学题，不难发现，简单的数字通过不同的组合和排列，就会展现出奇妙的规律。而借助图形，会让这些规律更形象，更方便于我们的理解。

一个小圆点代表数字1，二个小原点代表数字2……

回顾上篇我们学过的1-n的数据和公式：1+2+3+……+n = n×（n+1）÷2

深挖一下，顺着一个数学公式，其他公式常常会自动地出现在你的眼前。例如，如果我们把上述方程式的两边同时乘以2，就会得出前n个偶数的求和公式：2+4+6+……+2n=n（n+1）

完全平方数

那么，前 n个奇数的和是多少呢？让我们看看数字会给我们哪些提示。

前 n个奇数的和是多少？

等号右边的数字都是“完全平方数”（perfect squares）：1 × 1，2 × 2，3 × 3，等等。不难看出，前 n个奇数的和似乎是 n × n，记作n2。

但是，如何确定这个结果不是一种暂时性的巧合呢？下面我们将用一个非常简单的方法，解释这个并不复杂的规律。

图形让你眼前一亮

我最喜欢使用的证明方法仍然是计算小圆圈的个数，这个方法还会告诉我们像25这样的数字为什么又叫完全平方数。前5个奇数的和为什么是52呢？看看下图中边长为5的正方形，你就知道了。

正方形中共包含多少个小圆圈？

这个正方形共包含5×5=25个小圆圈。接下来，我们换一种方法来数上图中的小圆圈的个数。我们从左上角的第一个小圆圈开始数，它依次被3个、5个、7个和9个小圆圈包围，即：

1 + 3 + 5 + 7 + 9 =52

如果正方形的边长是 n，我们就可以把它分成 n个大小分别是1，3，5，…，(2 n – 1)的L形区域（如上图蓝色的L型，开口朝向左上角）。于是，我们得出前 n个奇数的求和公式：1 + 3 + 5 + … + (2n–1) =n2

神奇的规律

简简单单的数字背后，原来有这么多神奇的规律。而数学正是一门研究规律的学问，规律不需要死记硬背，重要的是思维方式。学会发现规律，学会通过排列组合、借助图形，让规律直观的展现出来，数学才能为你所用，成为你思考问题、解决问题的神秘武器。

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