单摆

细品教材
钟摆一刻不停地摆动，
时间一分一秒地流逝；
伽利略善于观察和思考，
发现吊灯摆动的等时性；
惠更斯按照伽利略的设想，
发明制造了第一个钟摆；
只要轻轻拨动摆锤下方螺母，
便可改变钟摆的摆动快慢；
究其原因，
这一切都源于对单摆振动周期的研究.

一、单摆
问题探究
生活中我们经常可以看到悬挂起来的物体在竖直平面内摆动，例如钟摆.那么摆动的物体具有什么规律呢？
要点详解
1.一根很轻的、不可伸长的细线系着一个有质量的质点，这个模型叫做单摆.
2.单摆是一种理想化模型.
单摆是实际摆的理想化模型.当摆线的形变量与摆线长度相比可以忽略不计，摆线的质量与摆球质量相比小得多，小球的大小与摆线长度相比小得多，且不计一切阻力，这时可把实际摆看做单摆.
状元笔记
为了使实际摆更接近单摆模型，应尽量选择质量大、体积小的球和尽量细的线.
二、单摆的回复力
情景再现
如图所示，细线下悬挂一个除去了柱塞的注射器，注射器向下喷出一细束墨水，沿着与摆动方向垂直的方向匀速拖动一张白纸，白纸上的墨迹便画出振动图象（x-t图象），这条曲线就是以横轴OO′表示时间，以纵轴表示位移的振动图象，它是一条正弦曲线.

要点详解
单摆的回复力是重力沿圆弧切向的分力F=mgsinθ提供的.
如图所示，摆球受重力mg和绳子的拉力F′两个力的作用，将重力按切线方向和径向正交分解，则绳子的拉力F′与重力的径向分量的合力提供了摆球做圆周运动所需的向心力，而重力的切向分力F提供了摆动所需的回复力F=mgsinθ.

设单摆的摆长为l，在最大偏角θ很小的条件下，摆球对O点的位移x的大小，与θ角所对的弧长、θ角所对的弦长都近似相等，即.
若偏角θ用弧度表示，则由数学关系知：，
所以重力沿切向的分力，
令，则F=kx.
因为F的方向与x方向相反，则F=-kx，
由此可见单摆在偏角很小的条件下的振动为简谐运动.
状元笔记
单摆的运动既是圆周运动，又是简谐运动（摆角很小的情况下），向心力由绳子的拉力和沿绳子方向的重力的分力来提供，或者说是由摆球所受合外力沿摆线方向的分力提供；回复力由重力沿运动的切线方向的分力来提供.因此摆球经过平衡位置时，只是回复力为零，而不是合外力为零，此时合外力用于提供小球做圆周运动的向心力.
【示例】单摆做简谐运动的回复力是（    ）
A.摆球的重力
B.摆线的拉力
C.摆球重力与摆线拉力的合力  
D.摆球重力沿圆弧切线方向的分力
解析：摆线的拉力是沿半径方向的，在圆弧切线方向上的分力为零，因此，摆球在切线方向上所受的合外力就是重力的切向分力，正是这个切向的合外力充当了回复力.但这不是摆球重力与摆线拉力的合力，因为在径向上摆球所受的合力即向心力并不是零.故正确选项为D.
答案：D
三、单摆的周期
问题探究
生活中钟摆的摆动十分具有规律性和周期性，我们可以用其来计时，这是为什么呢？
要点详解
1.影响单摆周期的因素
在满足小球的直径远小于线长的条件下，取不同长度的细线和不同质量的小球，做成不同的单摆，在偏角很小（如5°）的情况下，分别测出它们振动一定的次数n（如50次）所用的时间t，算出它们的周期T=t/n.改变偏角，使偏角更小，再测出它们的周期，大量结果表明：
（1）单摆的周期跟单摆的振幅无关，这种性质叫单摆的等时性.
（2）单摆的周期跟摆球的质量无关.
（3）荷兰物理学家惠更斯研究发现：
单摆做简谐运动的周期T跟摆长l的二次方根成正比，跟重力加速度g的二次方根成反比，跟振幅和摆球的质量无关.
状元笔记
单摆周期的测定不能从最大位移处计时，这样测量误差较大，并且应在摆球在平衡位置处向同一方向摆动时计数.
2.单摆的周期公式
惠更斯确定了计算单摆周期的公式.
3.单摆周期公式的运用条件
（1）是单摆做简谐运动的周期公式，但必须是在小角度振动时的条件下才成立.
（2）摆长必须是悬点到摆球球心的距离，应是摆线的长与球半径之和.
（3）g与单摆所处的物理环境有关，g为等效的重力加速度.
如果单摆在地面或在相对地面做匀速运动的物体系中摆动，g为当地的重力加速度.
如果单摆在超重或失重状态下的物体系里摆动时，g为该系统里的等效重力加速度.
状元笔记
在计算实际摆的振动周期时，应将实际摆等效为理想单摆，但要注意求出等效单摆的等效摆长和等效重力加速度.
【示例】一个单摆的周期是1 s，要使它的周期变为2 s，可采用的方法是（摆角θ＝2°）（    ）
A.将摆长增大为原来的2倍
B.将摆球质量增大为原来的2倍
C.将摆长增大为原来的4倍
D.将摆角增大为原来的2倍
解析：因为单摆的周期与摆球的质量及摆角（θ＜5°）无关，所以B、D错误.由单摆的周期公式可知，当l变为原来的4倍时，周期T将变为原来的2倍，符合题目要求，因此C正确，A错误.
答案：C
四、用单摆测定重力加速度
1.实验原理
由单摆周期公式可得，只需测量单摆的摆长和振动周期即可求出当地的重力加速度值.
单摆的摆长应等于摆线的长度加上金属球的半径，即.
状元笔记
细线应选择细而不易伸长的线，一般不应短于1 ｍ.小球应选用密度较大的金属球，直径要小，最好不超过2 mm.游标卡尺用来测量金属球的直径，单摆的摆长应等于摆线的长度加上金属球的半径，即.
2.实验器材
铁架台、1 ｍ左右的细线、带小孔的金属球、直尺、游标卡尺、秒表、坐标纸.
3.实验步骤
（1）让细线穿过球上小孔，在细线一端打一个比孔大些的线结，制成一个单摆.
（2）将铁夹固定在铁架台上端，铁架台放在实验桌边，使铁夹伸出桌面之外.然后把单摆上端固定在铁夹上，使摆球自由下垂.
(3)用刻度尺测量摆线长l₀，用螺旋测微器测出摆球直径ｄ，则摆长.
(4)把单摆从平衡位置拉开一个角度，并使这个角度不大于10°，然后释放它.当摆球某次到达最低点时用秒表开始计时，测量单摆全振动30次（或50次）的时间，求出一次全振动的平均时间，即单摆的周期T.
从理论角度考虑，单摆做简谐运动的条件是摆角小于5°.而在实际中，摆角小于5°的单摆，其运动细节很难观察.因此，在测量单摆周期的实验中，可在摆角为10°以内的情况下研究单摆的运动情况，此时由于角度而引起的相对误差很小，这在中学物理上是可以的.
测周期时的计时起点应该选在平衡位置，此时摆球速度最大，能准确判断通过的时刻.如果选在最大位移处，速度为零的状态很难确定，因此会引起较大的误差；单摆摆动一个周期两次经过平衡位置，所以计数时应同向通过平衡位置计数一次；测量一次全振动的时间误差较大，采用测量30次（或50次）全振动的时间，实际上是采用累积放大的方法，目的是为了减小周期的测量误差.
(5)反复测量多次，将实验数据记入设计表格内.
状元笔记
单摆悬线上端不可随意卷在铁夹的杆上，应夹紧在铁夹中，以免发生摆动时摆线下滑、摆长改变的现象.
【示例】一位同学用单摆做测定重力加速度的实验，他将摆挂起后，进行了如下步骤：
A.测摆长l：用米尺量出摆线的长度；
B.测周期T：将摆球拉起，然后放开.在摆球某次通过最低点时，按下秒表开始计时，同时将此次通过最低点作为第一次，接着一直数到60次通过最低点时，按秒表停止计时，读出这段时间t.算出单摆的周期；
C.将所测得的l和T代入单摆的周期公式算出g，将它作为实验的最后结果写入报告中.
指出上面步骤中遗漏或错误的地方，写出该步骤的字母，并加以改正.（不要求进行误差计算）
解析：摆长为摆线长加摆球半径；按下秒表时数1，实际上第一次振动时间并未计入，且每个周期物体应两次经过平衡位置，则数到60时，实际上只记录了29.5个周期的时间，所以T=t/29.5；通过多次测量取平均值来减小误差是实验中普遍采用的一种方法.
答案:见解析
4.数据处理
(1)采用多次测量，分别计算出重力加速度值，然后取平均值作为重力加速度的测量值.
(2)图象法：分别以l与T²为纵坐标和横坐标，作出的图象，它应该是过原点的一条直线，根据这条直线可以求出斜率k，则重力加速度值ｇ＝4π²k.
5.误差分析
（1）本实验系统误差主要取决于单摆模型本身是否符合要求，即悬点是否固定，是单摆还是复摆，球、线是否符合要求，振动是圆锥摆还是在同一竖直平面内振动，以及测量哪段长度作为摆长等等.只要注意了上面这些因素，就可以使系统误差减小到远远小于偶然误差而忽略不计的程度.
（2）本实验偶然误差主要来自时间的测量上，因此，要注意测准时间.要从摆球通过平衡位置时开始计时，为了减小误差，应采用多次测量后取平均值.
（3）本实验长度的测量中，读数精确到毫米位.时间的测量中，秒表读数的有效值的末位在“秒”的十分位上即可.
状元笔记
用图象法处理数据既直观又方便，同时也能最大限度地减小偶然误差对实验结果造成的影响.由于l-T的图象不是直线，不便于进行数据处理，所以采用l-T²的图象，目的是为了将曲线转换为直线，便于利用直线的斜率计算重力加速度.

归纳整理
在竖直平面内用细线悬挂一个小球，如果细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径与线的长度比也可以忽略，这样的装置就是单摆.在摆角很小的情况下，单摆的运动符合简谐运动的特征，摆球所受的重力在垂直细线的方向提供回复力.单摆的周期只与摆长和当地的重力加速度有关，与摆球的质量和振幅大小无关.利用单摆可以测定当地的重力加速度.


思考发现
1.影响单摆周期的因素应以周期公式为依据，单摆的周期只与摆长和重力加速度有关.而不能以速度和振幅来判定振动的快慢，单摆的周期与振动的速度和振幅都无关.
2.当实际摆不是理想单摆时，可以通过等效变换将其转换为理想单摆，在利用公式计算周期时，l对应等效摆长，ｇ对应等效重力加速度.等效重力加速度的求法是：假设摆球不振动，静止时绳子的拉力对应等效重力，其对应的重力加速度即为等效重力加速度.
3.单摆做简谐运动的图象与弹簧振子做简谐运动的图象都反映振动物体对平衡位置的位移随时间的变化规律.从图象上都可以直接读出振幅（A）、周期（T）及物体在最大位移处和平衡位置的时刻以及各物理量出现极值的时刻.将简谐运动图象与单摆的运动情景结合在一起，是解决图象类问题的关键.
4.设计性实验的基本思路和方法是根据题目要求，设置物理情景，构建物理模型，从而确定实验原理，达到解决问题的目的.