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1、幂函数的概念 一般地，函数 叫做幂函数，其中 是自变量， 是常数；其定义域是使 有意义的值的集合。
例1、已知幂函数 ，且当 时 为减函数。求幂函数的解析式。 分析：正确理解幂函数的概念、幂函数的图象与性质。求幂函数的解析式，一般用待定系数法，弄明白幂函数的定义是解题的关键。 解答：由于 为幂函数， 所以 ，解得，或。 当时，，在上为减函数； 当时，，在上为常函数，不合题意，舍去。 故所求幂函数的解析式为。
2、幂函数的图象和性质 图象：
性质：
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| 定义域 |
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| 值域 |
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| 奇偶性 | 奇 | 偶 | 奇 | 非奇非偶 | 奇 | 单调性 | 上增 | 上减，上增 | 上增 | 上增 | ，上分别减 | 定点 | ， |
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（1）所有的幂函数在上都有定义，并且图象都过点； （2）如果，则幂函数的图象过点和，并且在区间上是增函数； （3）如果，则幂函数的图象过点，并在区间上是减函数。在第一象限内，当从趋向于原点时，图象在轴右方无限地逼近轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴； （4）当为奇数时，幂函数为奇函数；当为偶数时，幂函数为偶函数。
例2、比较，，的大小。 分析：先利用幂函数的增减性比较与的大小，再根据幂函数的图象比较与的大小。 解答： 而在上单调递增，且， 。故。
例3、若函数在区间上是递减函数，求实数m的取值范围。
分析：本题考查简单幂函数的性质以及函数图象的平移问题。 函数是一个比较常用的幂函数，它也叫做反比例函数，其定义域是，是一个奇函数，对称中心为（0，0），在和上都是递减函数。一般地，形如的函数都可以通过对的图象进行变换而得到，所以这些函数的性质都可以借助的性质来得到。 解答：由于，所以函数的图象是由幂函数的图象先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到的，所以其图象如图所示。
其单调递减区间是和，而函数在区间上是递减函数，所以应有。
例4、若点在幂函数的图象上，点在幂函数的图象上，定义，试求函数的最大值及其单调区间。
分析：首先根据幂函数的定义求出，然后在同一坐标系下画出函数和的图象，得出的函数图象，最后根据图象求出最大值和单调区间。 解答：设，因为点在的图象上，所以，所以，即； 又设，点在的图象上，所以，所以，即。 在同一坐标系下画出函数和的图象，如图所示，则有 。
根据图象可知函数的最大值等于，其单调递增区间是（，－1）和（0，1）；单调递减区间是和。
例5、已知幂函数是偶函数，且在上是减函数，求函数的解析式，并讨论的奇偶性。 分析：先根据单调性求出m的取值范围，再由奇偶性进一步确定m的取值。讨论的奇偶性时要注意对字母的讨论。 解答：由在上是减函数得，。∵，0，1。 又因为是偶函数，∴只有当时符合题意，故。 于是，。 当且时，为非奇非偶函数； 当且时，为奇函数； 当且时，为偶函数； 当且时，为既奇又偶函数。
例6、已知幂函数在上是增函数，且在定义域上是偶函数。 （1）求的值，并写出相应的函数的解析式； （2）对于（1）中求得的函数，设函数。问是否存在实数，使得函数在区间上是减函数，且在区间上是增函数？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由。 分析：第一问先根据单调性求出的取值范围，再由奇偶性进一步确定的取值。第二问可根据复合函数单调性的规律来解。 解答：（1）∵幂函数在上是增函数，∴∴ 又，∴ ∵在定义域上是偶函数，∴只有当时符合题意，故。 （2）由，则。 假设存在实数，使得满足题设条件。令，则。 ∵在上是减函数，∴当时，；当时，。 若在区间上是减函数，且在区间上是增函数，则在上是减函数，且在 上是增函数，此时二次函数 的对称轴方程是 即 ， ∴ 。 故存在实数，使得函数 在区间 上是减函数，且在区间 上是增函数。
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