如图1所示,在正方形ABCD中,AB=1,弧AC是以点B为圆心,AB长为半径的圆的一段弧,点E是边AD上的动点(点E与点A,D不重合),过E作弧AC所在圆的切线,交边DC于点F,G为切点. (1)求证:EA=EG; (2)设AE=x,FC=y,求y关于x的函数关系式,并直接写出x的取值范围; (3)如图2所示,将△DEF沿直线EF翻折后得△D1EF,连接AD1,D1D,试探索:当点E运动到何处时,△AD1D与△ED1F相似?请说明理由. (1)证明:∵四边形ABCD是正方形, ∴∠BAD=∠D=90°,AD=CD=AB=1, ∴AD⊥BA, ∴AD是圆B的切线, ∵EG是圆B的切线, ∴EA=EG; (2)解:∵EF切圆B于点G, ∴EA=EG,FC=FG. ∵AE=x,FC=y ∴EF=x+y,DE=1﹣x,DF=1﹣y, 在Rt△DEF中,根据勾股定理, 得:(x+y)2=(1﹣x)2+(1﹣y)2 ∴y=(1﹣x)/(1+x)(0<x<1). (3)解:当点E运动到AD的中点时,△AD1D与△ED1F相似;理由如下: 设直线EF交线段DD1于点H,由题意,得: △EDF≌△ED1F,EF⊥DD1且DH=D1H. ∵AE=1/2,AD=1, ∴AE=ED. ∴EH∥AD1,∠AD1D=∠EHD=90°. 又∵∠ED1F=∠EDF=90°, ∴∠FD1D=∠AD1D. ∴D1F∥AD, ∴∠ADD1=∠DD1F=∠EFD=45°, ∴△ED1F∽△AD1D. 考点分析: 圆的综合题. 题干分析: (1)证出AD是圆B的切线,由切线长定理即可得出结论; (2)根据切线长定理、正方形的性质得到有关的线段用x,y表示,再根据勾股定理建立函数关系式. (3)根据切线长定理找到角之间的关系,从而发现正方形,根据正方形的性质得到两个角对应相等,从而证明三角形相似. |
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