题目内容 已知:如图①,在矩形ABCD中,AB=5,AD=,AE⊥BD,垂足是E.点F是点E关于AB的对称点,连接AF、BF. (1)求AE和BE的长; (2)若将△ABF沿着射线BD方向平移,设平移的距离为m(平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度).当点F分别平移到线段AB、AD上时,直接写出相应的m的值. (3)如图②,将△ABF绕点B顺时针旋转一个角(0°<<180°),记旋转中的△ABF为△A′BF′,在旋转过程中,设A′F′所在的直线与直线AD交于点P.与直线BD交于点Q.是否存在这样的P、Q两点,使△DPQ为等腰三角形?若存在,求出此时DQ的长;若不存在,请说明理由.
(1)4,3;(2)当点F在线段AB上时,;当点F在线段AD上时,; (3)存在,. 【解析】 试题分析:(1)由勾股定理求得BD的长,根据三角形面积公式求出AE的长,再应用勾股定理即可求得BE的长. (2)根据平移的性质求解即可. (3)分DP=DQ(考虑点Q在线段BD的延长线和点Q在线段BD上两种情况),QP=QD,PD=PQ三种情况求解即可. 试题解析:(1)∵AB=5,AD=,∴由勾股定理得. ∵,∴,解得AE=4. ∴. (2)当点F在线段AB上时,;当点F在线段AD上时,. (3)存在,理由如下: ①当DP=DQ时,若点Q在线段BD的延长线上时,如答图1,有∠Q=∠1,则∠2=∠1+∠Q=2∠Q. ∵∠3=∠4+∠Q,∠3=∠2,∴∠4+∠Q=2∠Q.∴∠4=∠Q. ∴A′Q=A′B=5.∴F′Q=4+5=9. 在Rt△BF′Q中,,解得或(舍去). 若点Q在线段BD上时,如答图2,有∠1=∠2=∠4, ∵∠1=∠3,∴∠3=∠4. ∵∠3=∠5+∠A′,∠A′=∠CBD,∴∠3=∠5+∠CBD=∠A′BQ.∴∠4=∠∠A′BQ.∴A′Q= A′B=5. ∴F′Q=5-4=1.∴.∴. ②当QP=QD时,如答图3,有∠P=∠1, ∵∠A′=∠1,∠2=∠3,∴∠4=∠P.∴∠4=∠A′.∴QB=Q A′. 设QB=Q A′=x, 在Rt△BF′Q中,设备,解得. ③当PD=PQ时,如答图4,有∠1=∠2=∠3, ∵∠1=∠A′,∴∠3=∠A′.∴BQ=A′B=5. ∴. 综上所述,当△DPQ为等腰三角形时,DQ的长为. 考点:1.轴对称、平移和旋转问题;2.矩形的性质;3.勾股定理;4.等腰三角形存在性问题;5.勾股定理;6.分类思想的应用.
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