数学界“最业余”的数学家：费马

     费马（Pierre de Fermat，1601-1665）， 法国数学家、物理学家。生于博蒙德罗曼，其父曾任法国图卢兹地方法院的法律顾问。他本人的职业也是律师，曾任图卢兹议会的顾问30多年。

    费马一生从未受过专门的数学教育，数学研究也不过是他的业余爱好，他的一系列重要数学研究工作都是在业余时间完成的，他所发挥的作用却是非常重要的，在17世纪的法国还找不到哪位数学家的成就可以与之匹敌。

    费马对数学的贡献主要包括：他与笛卡儿共同创立了解析几何；创造了作曲线切线的方法，被微积分发明人之一牛顿奉为微积分的思想先驱，对于微积分诞生的贡献仅次于牛顿、莱布尼茨；他通过提出有价值的猜想，指明了关于整数的理论——数论的发展方向；他还研究了掷骰子赌博的输赢规律，从而成为古典概率论的奠基人之一。费马堪称是17世纪法国最伟大的数学家。

费马业余数学之王

    17世纪伊始，就预示了一个颇为壮观的数学前景。而事实上，这个世纪也正是数学史上一个辉煌的时代。几何学首先成了这一时代最引入注目的引玉之明珠，由于几何学的新方法——代数方法在几何学上的应用，直接导致了解析几何的诞生；射影几何作为一种崭新的方法开辟了新的领域；由古代的求积问题导致的极微分割方法引入几何学，使几何学产生了新的研究方向，并最终促进了微积分的发明。几何学的重新崛起是与一代勤于思考、富于创造的数学家是分不开的，费马就是其中的一位。

对解析几何的贡献

    费马独立于笛卡儿发现了解析几何的基本原理。1629年以前，费马便着手重写公元前三世纪古希腊几何学家阿波罗尼奥斯失传的《平面轨迹》一书。他用代数方法对阿波罗尼奥斯关于轨迹的一些失传的证明作了补充，对古希腊几何学，尤其是阿波罗尼奥斯圆锥曲线论进行了总结和整理，对曲线作了一般研究。并于1630年用拉丁文撰写了仅有八页的论文《平面与立体轨迹引论》。该文道出了费马的发现。他指出：“两个未知量决定的—个方程式，对应着一条轨迹，可以描绘出一条直线或曲线。 ”费马的发现比笛卡尔发现解析几何的基本原理还早七年。费马在书中还对一般直线和圆的方程、以及关于双曲线、椭圆、抛物线进行了讨论。笛卡儿是从一个轨迹来寻找它的方程的，而费马则是从方程出发来研究轨迹的，这正是解析几何基本原则的两个相反的方面。

    在1643年的一封信里，费马也谈到了他的解析几何思想。他谈到了柱面、椭圆抛物面、双叶双曲面和椭球面，指出：含有三个未知量的方程表示一个曲面，并对此做了进一步地研究。费马于1636年与当时的大数学家梅森、罗贝瓦尔开始通信，对自己的数学工作略有言及。但是《平面与立体轨迹引论》的出版是在费马去世14年以后的事，因而1679年以前，很少有人了解到费马的工作，而现在看来，费马的工作却是开创性的。费马把直线平面坐标应用于几何学也早于笛卡儿，在其所著“平面及空间位置理论的导言”中，最早提出了一次方程代表直线，二次方程代表截线，对一次与二次方程的一般形式，也进行了研究。费马还研究了对方程ax²+1=y²整数解的问题。得出了求导数所有约数的系统方法。

对微积分的贡献

    16、17世纪，微积分是继解析几何之后的最璀璨的明珠。人所共知，牛顿和莱布尼茨是微积分的缔造者，并且在其之前，至少有数十位科学家为微积分的发明做了奠基性的工作。但在诸多先驱者当中，费马仍然值得一提，主要原因是他为微积分概念的引出提供了与现代形式最接近的启示，以致于在微积分领域，在牛顿和莱布尼茨之后再加上费马作为创立者，也会得到数学界的认可。

    曲线的切线问题和函数的极大、极小值问题是微积分的起源之一。这项工作较为古老，最早可追溯到古希腊时期。阿基米德为求出一条曲线所包任意图形的面积，曾借助于穷竭法。由于穷竭法繁琐笨拙，后来渐渐被人遗忘、直到16世纪才又被重视。由于开普勒在探索行星运动规律时，遇到了如何确定椭圆形面积和椭圆弧长的问题，无穷大和无穷小的概念被引入并代替了繁琐的穷竭法。尽管这种方法并不完善，但却为自卡瓦列里到费马以来的数学家开辟了一个十分广阔的思考空间。

    费马建立了求切线、求极大值和极小值以及定积分方法，对微积分做出了重大贡献。

    费马在数学方面作出了卓越的贡献，早年主要研究概率论，对于数论和解析几何都有深入研究。他对微分思想的运用比牛顿和莱布尼兹还要早，在他所著《求最大值和最小值的方法》一书中，已对微分理论进行了比较系统的探讨。

对概率论的贡献

    早在古希腊时期，偶然性与必然性及其关系问题便引起了众多哲学家的兴趣与争论，但是对其有数学的描述和处理却是15世纪以后的事。16世纪早期，意大利出现了卡尔达诺等数学家研究骰子中的博弈机会，在博弈的点中探求赌金的划分问题。到了17世纪，法国的帕斯卡和费马研究了意大利的帕乔里的著作《摘要》，建立了通信联系，从而建立了概率学的基础。

    费马考虑到四次赌博可能的结局有2×2×2×2＝16种，除了一种结局即四次赌博都让对手赢以外，其余情况都是第一个赌徒获胜。费马此时还没有使用概率一词，但他却得出了使第一个赌徒赢得概率是15／16，即有利情形数与所有可能情形数的比。这个条件在组合问题中一般均能满足，例如纸牌游戏，掷银子和从罐子里摸球。其实，这项研究为概率的数学模型——概率空间的抽象奠定了博弈基础，尽管这种总结是到了1933年才由柯尔莫戈洛夫作出的。

    费马和帕斯卡在相互通信以及著作中建立了概率论的基本原则——数学期望的概念。这是从点的数学问题开始的：在一个被假定有同等技巧的博弈者之间，在一个中断的博弈中，如何确定赌金的划分，已知两个博弈者在中断时的得分及在博弈中获胜所需要的分数。费马这样做出了讨论：一个博弈者A需要4分获胜，博弈者B需要3分获胜的情况，这是费马对此种特殊情况的解。因为显然最多四次就能决定胜负。

    一般概率空间的概念，是人们对于概念的直观想法的彻底公理化。从纯数学观点看，有限概率空间似乎显得平淡无奇。但一旦引入了随机变量和数学期望时，它们就成为神奇的世界了。费马的贡献便在于此。

对数论的贡献

    17世纪初，欧洲流传着公元三世纪古希腊数学家丢番图所写的《算术》一书。1621年费马在巴黎买到此书，他利用业余时间对书中的不定方程进行了深入研究。费马将不定方程的研究限制在整数范围内，从而开始了数论这门数学分支。

    费马在数论领域中的成果是巨大的，其中主要有：

    （1）全部素数可分为4n+1和4n+3两种形式。

    （2）形如4n+1的素数能够，而且只能够以一种方式表为两个平方数之和。

    （3）没有一个形如4n+3的素数，能表示为两个平方数之和。

    （4）形如4n+1的素数能够且只能够作为一个直角边为整数的直角三角形的斜边；4n+1的平方是且只能是两个这种直角三角形的斜边；类似地，4n+1的m次方是且只能是m个这种直角三角形的斜边。

    （5）边长为有理数的直角三角形的面积不可能是一个平方数。

    （6）4n+1形的素数与它的平方都只能以一种方式表达为两个平方数之和；它的3次和4次方都只能以两种表达为两个平方数之和；5次和6次方都只能以3种方式表达为两个平方数之和，以此类推，直至无穷。

    著名的费马大定理是费马提出的。1637年费马提出：“不可能把一个整数的立方表示成两个立方的和，把一个四次方幂表示成两个四次方幂的和，一般地，不可能把任一个次数大于2的方幂表示成两个同方幂的和。”

    让他成为众所周知的公众人物的是他在1637年在书页写下的上面的批注，不仅他是否曾经作出过美妙的证明成了一个永久之谜，在1665年他去世后，引起了许多著名数学家的关注。 而他提出的猜想，既著名的费马大定理让后人整整忙了350年才解决。还有他关于费马数的猜想，即费马小定理也是引导了一大批人去证明和探索。

    费马本人是在数论领域中上演的一部350年的长篇连续剧第一个出场的男主角，他提出的问题能够吸引人们长期关注，实在是一个很有本事的人。

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