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因式分解,也叫分解因式, 因式分解,是主谓短语, 分解因式,是动宾短语, 就是把多项式,变成一个个式子相乘的形式； 如果需要示意图,就看看汉字 “目”、“月” 和 “朋”、“用”, “月” 和 “目” 就是长为 3,宽分别是 a、b 的两个长方形, 写成 3a 3b 像 “朋” 就是一个两项式, 如果 “月” 和 “目” 拼成一个 “用”,就是 3(a b) 的一个长方形, 把 3a 3b 两项相加的式子变成 3(a b) 乘积的式子,就是因式分解. 分解因式,也正如分解质因数, 分解质因数,是要把整数变成一个个质数的乘积,在因数中去掉合数； 分解因式,就是把整式变成一个个因式的乘积,尽量降低各个因式的次数, 具体方法, 【第一步,提取公因式】 这也是最简单的方法, 公因式不仅有：系数、字母、单项式（这些相信我们都熟悉了）, 而且,公因式还可能是一个式子, 例如 (a b)(3m 2n) (2m 3n)(a b),公因式是 (a b) 原式 = ( a b )( 3m 2n 2m 3n ) = ( a b )( 5m 5n ) ——这样再提取系数 5 = 5( a b )( m n ) 【第二步,公式法】 就是把整式乘法的公式倒过来用, a" - b" = (a - b)(a b) ——平方差, a" 2ab b" = (a b)" ——完全平方和, a" - 2ab b" = ( a - b )" ——完全平方差, a"' b"' = (a b)(a" - ab b") ——立方和, a"' - b"' = ( a - b )(a" ab b") ——立方差, 熟悉公式,熟悉平方数、立方数是关键, 【平方差】还有两个完全平方相减的式子, 例如 9( x y )" - 4( x y - 1 )" = [ 3(x y) - 2(x y - 1) ][ 3(x y) 2(x y - 1) ] = ( 3x 3y - 2x - 2y 2 )( 3x 3y 2x 2y - 2 ) = ( x y 2 )( 5x 5y - 2 ) 【完全平方式】应该注意 ( a - b )" = [ - ( b - a ) ]" = ( b - a )" = a" - 2ab b" = b" - 2ab a" 而且 ( a - b )" = [ a ( - b ) ]" = a" - 2ab b" = a" 2a(-b) (-b)" 公式或许就只有一个 ( a b )" = a" 2ab b" 不管是和的平方,还是差的平方, 最先也都是平方和, a" - 2ab - b" 就错了. 【立方和、立方差】 原来两个三次项,分解因式变成五个项, 两个是一次项、三个是二次项, a"' b"' = ( a b )( a" - ab b" ) a"' - b"' = ( a - b )( a" ab b" ) 我们看看特征, 两个一次项 a 和 b,正负与原来的三次项 a"' 和 b"' 一样； 三个二次项,a" b" 还是平方和,中间项 ab 就要与一次项相反. 或者, 看分解因式的五个项, 立方和,只有二次项 ab 为负,其余全都是正； 立方差,除了一次项 b 为负,其余全都是正. 想一想, 二次项 ab,如果立方和换成 ab,立方差换成 -ab, 再变成 2 不就成了完全立方吗?怎么是立方和、立方差呢? ( a b )( a" 2ab b" ) =( a b )( a b )" =( a b )"' ( a - b )( a" - 2ab b" ) = ( a - b )( a - b )" = ( a - b )"' 这样看来,立方和是 -ab,立方差是 ab,就是要加大与完全立方的差别啊! 为了熟悉公式,我们也应该取简单的数字算一算, 2"' - 1"' = 8 - 1 = 7 = 1 X 7 = ( 2 - 1 )( 4 2 1 ) = ( 2 - 1 )( 2" 2 1 ) 相信我们都知道,分解因式是这五个项, 相对困难就是正负符号,不知怎样确定, 这样只要算一算,就能够帮助自己确定符号了. 【第三步,二次三项式分解】 我建议,十字相乘法,结合分组分解法一同使用, 正如 x" (a b)x ab = ( x a )( x b ) 把单项式 mx = (a b)x ,拆开变成 ax bx , 就能够分组提公因式进行分解. 【】关键是看常数项的正负,决定一次项怎样一分为二, 如果常数项是正数,一次项的绝对值,就是拆开两个项的和； 如果常数项是负数,一次项的绝对值,就是拆开两个项的差. 前面已经说过,完全平方,b" 必然都是 b", x" 10x 25 = ( x 5 )" x" - 10x 25 = ( x - 5 )" 再看看 x" ± 10x ± 24,分解因式 4 种情况都有, 【】如果常数项是正数, 一次项拆开两个项的绝对值,就都比原来小； x" 10x 24 = x" 4x 6x 24 = x( x 4 ) 6( x 4 ) = ( x 4 )( x 6 ) 常数项 24 不变,一次项 ±10x 就都是拆开 4x 与 6x 的和, x" - 10x 24 = x" - 4x - 6x 24 = x( x - 4 ) - 6( x - 4 ) = ( x - 4 )( x - 6 ) 【】如果常数项是负数, 一次项的绝对值,就是拆开两个项的相差数； x" - 10x - 24 = x" - 12x 2x - 24 = x( x - 12 ) 2( x - 12 ) = ( x - 12 )( x 2 ) 常数项 -24 不变,一次项 ±10x 就都是拆开 12x 与 2x 的相差数, x" 10x - 24 = x" 12x - 2x - 24 = x( x 12 ) - 2( x 12 ) = ( x 12 )( x - 2 ) 这样我们也就发现, 【】为什么看常数项的正负,决定一次项怎样一分为二呢?这是因为： 常数项不变,只是一次项变成相反数,一次项一分为二的绝对值就不变； 一次项不变,只要常数项变成相反数,一次项就要改变一分为二的方式； 像这样的二次三项式,还有 x" ± 5x ± 6, x" ± 10x ± 24, x" ± 15x ± 54, x" ± 20x ± 96, x" ± 25x ± 150, …… 其实,它们都是 x" ± 5xy ± 6y" , 这个式子千变万化,还有 6x" ± 5x ± 1, 6x" ± 10x ± 4, 6x" ± 15x ± 9, 6x" ± 20x ± 16, 6x" ± 25x ± 25, …… 这样的式子还不只一个,还有 8x" ± 26x ± 15, 8x" ± 52x ± 60, 8x" ± 78x ± 135, 8x" ± 104x ± 240, 8x" ± 130x ± 375, …… 其实,这样也都是 8x" ± 26xy ± 15y" , 这个千变万化的式子,同样还有 15x" ± 26x ± 8, 15x" ± 52x ± 32, 15x" ± 78x ± 72, 15x" ± 104x ± 128, 15x" ± 130x ± 200, …… 它们包括了多种具体情况, 让我们也都取值做一做, 感受一下其中的奥秘吧. 【】二次三项式,分解因式, 这样也是技巧、窍门, 关键就看 c 与 a 的正负, 只要熟悉这个方法, x" bx c, ax" bx c, ax" bxy cy", 我们都同样做得方便. 【复杂的多项式,配方法】 如果上面这些方式方法都不熟悉, 或者二次三项式看起来复杂,不知所措, 还可以使用配方法, 我们还是看看 x" - 10x - 24 , x" - 10x - 24 首先配方,把二次项和一次项,变成完全平方, = x" - 10x 5" - 25 - 24 = ( x - 5 )" - 49 分解因式,用平方差公式 = ( x - 5 )" - 7" = ( x - 5 - 7 )( x - 5 7 ) = ( x - 12 )( x 2 ) 【分解之后,还要检验】 确保分解彻底,因式分解变形正确, 例如 x^6 - y^6,应该 = ( x"' - y'" )( x"' y"' ) = ( x - y )( x y )( x" - xy y" )( x" xy y" ) 相当于 64 - 1, = ( 8 - 1 )( 8 1 ) = ( 2 - 1 )( 4 2 1 )( 2 1 )( 4 - 2 1 ) = 1 X 7 X 3 X 3 如果先用立方差,做成 = ( 4 - 1 )( 4" 4 1 ) = ( 2 - 1 )( 2 1 )( 16 4 1 ) = 1 X 3 X 21 就还有 21 不是质因数,分解不彻底,也就不正确了. 正如现在的平方差,有两个完全平方式相减, 现在要求分解的式子都比较复杂,要想还原就不方便了, 各种类型的式子,我们就都要熟悉两三种解答方式, 看看不同的方式方法是不是同一个结果, 这样才能够相互检验,确保解答正确. |
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