【最美歌词:阿刁不会被现实磨平棱角!】 【编者按】昨晚认真完成了2018届盐城三模试卷,发现第14题小巧灵动,很是有趣。下面和大家分享vectorAB对这道题的思考。 【试题回顾】 设△ABC的面积为2,若角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 则a2 2b2 3c2的最小值为 . 【几何背景探源】 本题的几何背景是斯特瓦尔特(Stewart)定理,参加过数学竞赛的同学应该都比较 熟悉,下面给出该定理的证明. 设已知△ABC及其底边上B、C两点间的一点D, 则有AB2·DC AC2·BD-AD2·BC=BC·DC·BD. 证明:记∠BDA=x,则由余弦定理可得 AB2=BD2 AD2-2BD·AD·cosx (1) AC2=CD2 AD2-2CD·AD·cos(π-x) (2) (1)×CD (2)×BD得 AB2·CD AC2·BD =BD2·CD CD2·BD AD2·CD AD2·BD =BD·CD·BC AD2·BC ∴AB2·DC AC2·BD-AD2·BC=BC·DC·BD. [备注:向量证明也是非常便捷,有兴趣的朋友可以一试.] 【试题解决】 2b2 3c2=5AD2 (6BC2)/5 a2 2b2 3c2=5AD2 (11a2)/5≥2sqrt(11)a·AD 因为a·AD≥2S, 所以,a2 2b2 3c2≥4sqrt(11)S=8sqrt(11). 【其他解法】 |
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