高考数学MOOK 2017 VOL.53 韩永权 ▼ 数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学命题,证明时,它的两个步骤(归纳奠基与归纳递推)缺一不可.一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行: 类型一 证明等式 【解题策略】 用数学归纳法证明与正整数n有关的一些等式时,关键在于“先看项”,弄清从n=k到n=k+1时等式两边的构成规律,然后正确写出归纳证明的步骤,使问题得以证明. 类型二 证明与数列有关的问题 【解题策略】 “归纳——猜想——证明”的模式,是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式. 其一般思路是:通过观察有限个特例,猜想出一般性的结论,然后用数学归纳法证明. 这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用,其关键是归纳、猜想出公式. 类型三 证明不等式 类型四 整除性问题 【解题策略】 证明整除性问题的关键是“凑项”,而采用增项、减项、拆项和因式分解等手段凑出n=k时的情形,从而利用归纳假设使问题获证. 类型五 证明几何问题 解题策略 用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”,即几何元素从k个变成k+1个时,从几何图形上发现规律,所证的几何量将增加多少,这需用到几何知识或借助于几何图形来分析,在实在分析不出来的情况下,将n=k+1和n=k分别代入所证的式子,然后作差,即可求出增加量,然后只需稍加说明即可,这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧. 总结 总之,在利用数学归纳法证明时,要清楚数学归纳法的关键步骤是推导当n=k+1时结论成立,在推导过程中要使用假设.还需结合其它的证明方法,如分析法,比较法,添项拆项等数学方法,希望本文能对大家有所帮助. |
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