2018高考数学100弹之第25弹：分段函数

       我们在几何画板学函数（一）中介绍了几何画板中分段函数的画法，要用到一个经典的分段函数——符号函数；在三十天冲刺（二十）——《函数零点、方程的根、不等式的解》、三十天冲刺（二十一）——《分段函数、绝对值不等式》、三十天冲刺（二十二）——《函数切线问题》中我们介绍了很多分段函数问题，今天我们再来做一些分段函数的问题，体会做分段函数问题的两个步骤：分类代数推导和分段画图象，不管是代数推导还是画图，都离不开分类讨论思想.

练习1：

答案：C

分析：

       这道题有的同学会分情况来解不等式，但实际上画图就可以，图象如下：

       显然f(x)为奇函数，f(a)>f(-a)即f(a)>-f(a)，得2f(a)>0，看图可得答案.

练习2：

答案：(-∞,0)∪(1,+∞)

分析：画出y=x^3和y=x^2的图象如下：

       然后拿一根直尺，竖着从右到左滑动，观察每一个情况，是否有两个不同自变量对应相同的函数值.

       这道题主要考查y=x^3和y=x^2的位置关系，如果(1,1)点左右两侧的图象模糊不清，这道题就不可能做对.

练习3：

答案：C

分析：

       从小题的角度，这道题可以瞬间出答案，只要代x=2和2/3即可.

       但是如果分类讨论来做，这道题会出现这么一个情况：当a<2 时，有f(f(a))=""><2>

       这两个函数图象如下：

       在x<2 时它们俩是否有交点，是取决于y="">

       当然做这道题我们不会去想这么多，但是很多分段函数都需要从切线来考虑.

       比如：

答案：A

分析：

       原题等价于y=f(x)和y=m(x+1)有两个不同交点，后者是过点(-1,0)的直线，图象如下：

       由图答案在A和B中选，由y=1/(x+1)-3的导数为y'=-1/(x+1)^2，可以直接看出答案为A，如果是B的话会出现根式，不符合.

       当然这属于选择题的做法，正常还得求导或者联立判别式来解决.

       这道题答案中出现了负数，就是因为函数y=1/(x+1)-3在x=0处的切线斜率大于-2.

       再看一道：

答案：A

分析：

       含有两个绝对值的不等式出现在全国卷的选做题中，所以必做题可能不太会出现绝对值不等式，但是如果真的出现含有一个绝对值的不等式，也不算超纲，而且对于类似y=|ax+b|(a≠0)的函数，不管是图象还是性质大家都得很清楚，其性质和二次函数y=(ax+b)^2非常像，顶点在x轴上，开口向上，对称轴为x=-b/a.

       上题有很多做法，但是画y=f(x)和y=|x/2+a|的图象还是比较简单的：

       然后只需要求导，就可以求出两个临界的值.

       一定要注意，这个做法是对基本初等函数的图象和性质了然于胸的一种针对小题的做法，大题是不可以这么做的.

练习4：

答案：2√2-2

分析：

       当a≤0时，显然g(a)=1-a；

       当a>0时，f(x)图象如下：

       所以需要比较1与a/2以及，1与(1+√2)a/2的大小，得到g(a)的表达式如下：

       由g(a)的单调性可得，a=2√2-2时，g(a)最小.

       虽然最近几年全国卷在必做题中考查分段函数不多，但是分类讨论思想是必须要考查的，所以多做点分段函数是有好处的.