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抽象函数是高中数学的一个难点，也是近几年来高考的热点。考查方法往往基于一般函数，综合考查函数的各种性质。本节给出抽象函数中的函数性质的处理策略，供大家参考。 题中说到凹函数，不等号一改变，就是凸函数，很重要的一个结论，千万记住了哦。那么，你知道y=lnx 是凹凸啥函数吗？ 平面向量数量积 的几何意义摘要：本文着重利用几何意义理解平面向量的数量积（内积），在教材上原有的第一几何意义“投影”的基础上，创新引入数量积的第二几何意义“极化”。将泛函分析中的“极化恒等式” 一平面向量数量积的第一几何意义——投影 小结1.：由以上三道例题，我们可以适当总结利用投影解决“求值”问题的方法：第一，题目往往以平面几何模型作为背景，并且有较明显的“几何特征”（规则）；第二，通常要把方向不“规则”的向量，向具有明显“几何特征”的三角形（如直角、等边三角形）的边做投影；第三，做投影后往往要构造出相似三角形，再运用平面几何的知识求解。 小结3：利用坐标方法可以迅速地找到动向量的“踪迹”，能够直观地在图上表示出来，助力题目分析，一定程度上揭示了投影这一几何意义的本质——垂线。 以上列举了平面向量数量积的第一几何意义——投影的三种表现形式。分别对“求值”和“求最值”这两类问题进行深入剖析，并利用“坐标轨迹”的思想揭示了投影的本质。近几年天津高考与模拟题中的类型题例，也充分显示，投影在处理平面向量数量积的问题上，无疑是个系统完备，能够有效地“规避”夹角的优选方法。 然而，深入研究不难注意到，无论是“求值”、“求最值”问题，还是“轨迹”问题，使用投影的前提条件都要“拥有一个‘定’的向量（或是一个具有明显‘几何特征’的向量）”。 这是因为，投影具有方向性。如果两个向量都是变化的，我们就无法构造投影。于是，类似于两个向量均“不定”的问题，投影的方法将无法使用，而这类问题往往是平面向量数量积考察的真正难点所在。这也是第一几何意义的局限性。 笔者查阅文献，试图寻找解决这类难题的普适方法。于是，在高等数学的泛函分析中发现了“极化恒等式”，并将其降至二维平面，得到了平面向量形式的极化恒等式。笔者深入分析其几何意义，并挖掘其本质，发现这个恒等式也可以利用几何的理解巧妙地“规避”向量的夹角给分析造成的繁琐，与投影有着“异曲同工”之妙。于是，笔者为了完善利用几何意义解决平面向量数量积问题的结构体系，尝试建立了一个与投影类似的新模型，即平面向量的第二几何意义——极化。 二平面向量数量积的第二几何意义——极化 小结4：运用极化的方法解决“求最值”的问题，我们要先构建“矢量三角形”，而后取其第三边中点与两向量的公共起点连线，将两向量的数量积转化为“第三边中线”与“第三边一半”的平方差。这种处理的方法我们不妨也仿照投影，编一个口诀：“两定两动连中线”。 （1）“两定”：矢量三角形中第三边中点的位置是确定的；矢量三角形中第三边的长度是定值。 （2）“两动”：两个向量的模长或方向不确定（或都不确定） （3）“连中线”：两向量的公共起点（或公共终点）与矢量三角形第三边的中点连线。 小结5：利用坐标意义可以清楚地找到两向量起点的轨迹，能够直观地在图上表示出来，便于分析，同样在一定程度上揭示了极化这一几何意义的本质——圆。 三综述 平面向量数量积的两个几何意义，各自巧妙地揭示了内积运算的实质。两种理论互相交错，相互依存，共同构成了“利用几何意义理解平面向量数量积”完备的结构体系。深刻探究了内积运算与线性运算的区别与联系。 在天津高考中，向量是考察的重点和难点，数量积作为平面向量的重要理论有着举足轻重的地位。向量题目借着丰富的几何背景，变化无穷。使用几何意义解决数量积问题能够快速、准确地找到答案，这种操作上的“迅速”与思路上的“明晰”是“基地分解”、“建系”等方法难以逾越的。 反过来，“基地分解”和“建系”则是向量数量积几何意义的根基，由本文例题不难看出，几何意义往往需要其他知识的辅助才能最终解决问题。所以，良好的基础是使用几何意义最坚实的后盾。 |
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