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在刘徽之后，中国进入了历史上最混乱的五胡乱华和南北朝时期，原来属于西晋的中原地区各个胡族势力轮番上阵，城头变幻大王旗，生活在此地的百姓开始向未受战火骚扰的地方迁徙，这就是中国历史上著名的"永嘉南渡"。南渡后，那些豪门大族还是会使用自己原来的籍贯，比如本文所介绍的祖冲之、祖暅父子。他们都是出生在建康（现在的南京）的，但是都自称范阳祖氏，因为他们的祖籍是范阳（现在的河北省涞水县），这里还有一个侨郡的概念，以后如果有机会也可以聊聊。祖氏在范阳是个大族，名人辈出，比如东晋初年那个闻鸡起舞、中流击楫的北伐将领祖逖，就是来自范阳祖氏。 祖冲之 祖冲之的祖父祖昌担任过大匠卿（一种负责土木建筑的官职），父亲祖朔之做过"奉朝请"，祖冲之本人担任过很过官职，他的儿子祖暅之也是一个数学家，他的孙子祖皓也精通历算，可以说他们家祖孙五代人都精通历算。这里我们还发现一个很有意思的事情，从祖冲之的父亲开始，他们的名字中都有一个"之"字，我们知道在古代避讳问题是个大问题，父子之间名字是不能有重复字的，但是为什么祖冲之他们家比较特殊呢？其实也不止是祖冲之，比如东晋时著名的书法家王羲之，他的儿子就叫王献之，他的孙子叫王靖之，也是都有一个"之"字。这是因为他们都信奉"天师道"这个宗教，"之"就是这些道友名字中的暗记。其实把这些"之"去掉以后，也完全没有问题，比如我们现在就把祖暅之叫做祖暅，这也符合从西汉末以来，人名通常用单字的习惯。 祖冲之一生有两大成就，一是颁布了《大明历》，另一个是把圆周率精确到小数点后7位。我们先来说说《大明历》，大明不是大明朝，大明朝要在祖冲之后900年才出现呢。大明是当时刘宋王朝皇帝宋孝武帝的年号，因为这个历法是在大明年间颁布的，所以叫《大明历》。在《大明历》中，祖冲之采用了391年144闰的闰年法，这在当时是一个重大的革新，另外还有一个革新就是在历法中引入了"岁差"的概念，这也是一个划时代的成就。 所谓的闰年，是指由于地球绕太阳一圈的时间是365天5小时48分46秒（365.24219天，这叫一个回归年），它不是一个整值，所以人们就把一年人为地定为365天，这样的话，每年都会比实际天数少了0.24219天，所以人们又把这少掉的0.2422天每四年累计一天，所以一般会在第四年的二月末加一天，那么这年就叫闰年，这是四年一闰。但是四年一闰是一种十分粗糙的算法，因为0.2422*4=0.9688，它不是一天，虽然看上去不大，但是如果放到10000年来算的话，我们会发现差了312天，差不过将近一年了，所以还需要有更精确的算法。所以我们现在正在用的是四年一闰，百年不闰，四百年再闰的算法。但由于中国古代的历法是阴阳历并用的，阴历是以月亮的一个朔望作为一个月的，由于一个朔望月的平均时间为29.53059天，所以阴历一般都是一个月29天，一个月30天，每年12个月，这样一年的时间在355天左右，跟实际的一个回归年365天差距更大。所以人们就会每隔几年加上一个月，作为闰月。为在祖冲之之前，人们使用的是19年7闰的方法，但是这种方法的误差还是比较大的，具体就是每200年就会多一天。所以，祖冲之通过计算，确定了391年144闰的新闰法，这要比19年7闰精确多了。 另外，所谓的"岁差"就是指由于地球在转动的过程中，地轴并不是一直不变的，而是也有一定变化的。比如2000年前的北极星就不是现在的北极星，就是因为地轴的指向发生了改变。而由于"岁差"的存在，每年的冬至点都会发生变化，而不是一尘不变的。但是由于这个"岁差"的变化量特别的小，所以很多人在制定历法的时候，都没有把它考虑进去，而祖冲之则不然，他把"岁差"也考虑了进去，因此他所制定的《大明历》比之前的历法要更加精确。 祖冲之的另一个划时代成就就是将圆周率精确到小数点后7位，并给出了圆周率的疏率和密率，其中的密率才是一件真正空前的杰作。在祖冲之之前，刘徽就通过割圆术得到圆周率的一个近似值3.1416。祖冲之在刘徽的基础之上继续发展，依然用割圆术的方法，将这个值确定在3.1415926<π<3.1415927之间，这是当时世界上最精确的圆周率的值，并且一直保持了900年。一直到1424年才由阿拉伯数学家阿尔·卡西所打破，阿尔·卡西将圆周率精确到小数点后17位。祖冲之在圆周率上更大的贡献则是给出了密率，355/113。所谓的"密率"就是指圆周率的一个比较精确的近似值，它有两个好处，一是精确，我们都知道圆周率π是个无限不循环小数，小数点后面的数字是无穷无尽的，那么怎么样才能更精确地表示这个圆周率呢？一般是给出一个分数来，这个分数与圆周率本身的误差要尽量的小；二是简单，如果这个分数依然是一个十分复杂的数字的话，也没有什么太大的意义。而祖冲之给出的这个密率恰恰符合这两个要求，在精确度方面，它与圆周率本身的误差只有9*10^-8，也就是说一个直径10公里的圆，用密率计算出来的周长和实际周长只相差了不到3毫米。而在形式方面，比这个分数更简单的就是22/7，这其实是祖冲之给出的疏率，但它的误差要比355/113大很多，如果要误差比355/113小，则最小的分数是103993/33102，误差是小了，但是分数数值则要复杂的多。所以，现在很多人都愿意将355/113称为"祖率"。 祖冲之的儿子祖暅也是一个数学家，他与父亲祖冲之共同合作，完成了"祖暅原理"的创造。所谓的"祖暅原理"是在求"牟合方盖"的体积的时候所用到的方法，在该原理中，祖暅提到了"幂势既同，则积不容异"的原理。其实求"牟合方盖"的体积问题在古希腊的时候就已经由阿基米德解决了，但是阿基米德的方法是针对特定的问题的，并没有建立起一般的计算法则，对于每一个新问题，都需要从头开始，很麻烦。而祖暅原理则是一个一般性的原理，这与17世纪意大利数学家卡瓦列里提出的"卡瓦列里原理"差不多。用现代分析学的观点来解释就是：如果被积函数相等，而且积分限也相等，则两个积分相等。被积函数中的常数可以作为一个因子提到积分号外面而不影响积分的值。即：设f(x)=g(x)(a≤x≤b)，则有 以及 |
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