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今天是3.14圆周率日，提到对圆周率的研究，我们会立刻想到一个人，他就是南北朝时期的祖冲之。 祖冲之（429—500），字文远，生于建康（今江苏南京），祖籍范阳郡遒县（今河北涞水），南北朝时期杰出的数学家、天文学家、机械制造专家。其主要事迹记载于《南齐书·祖冲之传》《南史·祖冲之传》《畴人传·祖冲之传》中。祖冲之一生钻研自然科学，他创制的《大明历》是当时最科学最进步的历法，并为后世的天文研究提供了正确的方法。他首次将圆周率精算到小数点后第七位数字，提出的“祖率”对数学的研究有重大贡献。 1 自幼爱好科学 元嘉六年（429），祖冲之出生在南朝宋（又称刘宋）的都城建康（今江苏南京）。然而，他的祖籍则在范阳郡遒县（今河北涞水）。那么，祖家为什么要从北方南迁到建康呢？这要从当时的时代背景说起。西晋惠帝时期朝廷内部爆发了“八王之乱”，导致晋室分裂，国力空虚，民生凋敝。北方的少数民族趁机起兵，纷纷建立政权，并不断南下侵扰。为了避乱，晋朝皇室和北方的广大居民纷纷南迁，进入到相对安定的长江流域生活，史称“衣冠南渡”。衣冠南渡的结果就形成了南北朝对峙的局面，中国历史也进入了南北朝时期，而祖家正是在这个时候南迁到建康的。 祖冲之的先祖最早见于史籍的是他的曾祖父祖台之，东晋时官至侍中、光禄大夫。桓玄辅政时，曾受命弹劾中书侍郎范泰及前司徒左长史王准之、辅国将军司马珣之“居丧无礼”，终使范泰等罢官离职。祖台之还是一个文学爱好者，撰有一部名叫《志怪》的小说流行于当时。祖冲之的祖父祖昌曾在南朝宋任大匠卿，就是掌管土木工程事宜的官，懂得一些科学技术。祖冲之的父亲祖朔之，则以奉朝请一职为官于刘宋王朝。 南朝刘宋时代，官宦子弟多崇尚浮华，纵情于酒色。然而，祖冲之却不随波逐流，他年少时便好学且淡薄功名利禄，特别是对科学技术和机械制造情有独钟。历史上流传着这样一个故事，祖冲之的祖父祖昌经常给小祖冲之讲一些科学家的事迹，其中张衡发明地动仪的故事深深打动了祖冲之幼小的心灵，让他折服于古代科技的发明和奥妙。 此外，由于祖昌是负责土木工程的官，他常常利用工作之便带小祖冲之到建筑工地去玩，如何丈量、如何计算建筑物的周长和面积、建筑部件的结构是怎样的这些问题也引起了小祖冲之的极大兴趣。可以说，祖冲之从小就受到了很好的家庭教育，他对自然科学、数学、科技、机械制造等都产生了兴趣，并下功夫去钻研，还是青年的他在当时已小有名气。 在南朝宋的政府里，有一个叫作华林学省的机构，相当于现在的学术机构。由于祖冲之有相当的学识和刻苦钻研的精神，政府就让这个年轻人到华林学省专门从事研究工作，也就是当上了研究员。在这里，祖冲之除了扩充学识之外，还努力学习南北朝以前和外国传来的天文历法、科技知识，这为他将来成为一位科学家打下了很好的基础。 2 改革历法，制订《大明历》 南朝宋大明五年（461），皇族刘子鸾被任命为南徐州（今江苏镇江）刺史，他看中了祖冲之的才华，让其在自己手下做从事史（协助刺史处理政务的官）。不久，刘子鸾兼任管理民政的长官——司徒，祖冲之随即转任司徒府的公府参军。虽然离开了华林学省，但是祖冲之并没有放松对科学的探索。 中国古代以农业立国，历法在人们的日常生活中起到了极其重要的作用。祖冲之生活的年代，朝廷采用的是何承天在元嘉六年（429）所制的《元嘉历》。《元嘉历》较之此前的历法已经有不少改进。但是祖冲之经过认真研究和实际观察，认为《元嘉历》还是不够精密。举例来说，我国古代历法家把19个阴历年叫作一“章岁”。 最早的闰法就是一章岁加7个闰月，也就是19年7闰。这种闰法在我国实行了一千多年都没有改变，《元嘉历》用的也是这个闰法。然而，祖冲之研究认为，19年7闰的历法闰数过多，和四季变化的真实情况有不小的出入，且经过200年就会相差一天。于是，祖冲之改历法为在391年中设144个闰年，并将“岁差”这一概念应用于其中，由此编成了《大明历》。应该说，这部历法是当时最好的，也是祖冲之在天文历法方面为后人作出的贡献。 然而，在推行《大明历》的过程中，却出现了阻碍。当时的皇帝宋孝武帝不懂历法，《元嘉历》和《大明历》哪个更好，他也不清楚，于是“下之有司，使内外博议”。当时懂得些历法的人都认为《大明历》为佳，只有权臣戴法兴反对新的历法，他凭借自己仅有的天文历法知识与祖冲之进行辩论，说：“太阳的运动，有时快有时慢，没有一定的规律。”祖冲之回应道：“太阳的运动的确有快有慢，但却有一定的规律，这是有事实为证的。” 戴法兴还对“岁差”提出异议，认为“冬至所在”“万世不易”，并给祖冲之扣上了“诬天背经”的罪名。祖冲之对戴法兴提出的异议一一作了反驳。 最终，戴法兴气急败坏地说：“历法是古代流传下来的，即使有错误的地方，也不能随便改。”祖冲之坚定地回答：“我将古今历法的优缺点做了研究比较，我的研究是有根据的，我们不能盲目信从古人，旧历法既然有错，就应该采用新的。”在场的很多大臣都认为祖冲之是对的，但是他们畏惧戴法兴的权势，不敢多言，一些人则为了讨好戴法兴而反对新的历法。直到皇帝的另一个亲信巢尚之站出来说：“新的历法是祖冲之经过多年的研究制订的，用这个历法计算出来的月食情况与现实中的相同，可是用旧历法推算出来的结果却不符合实际情况。” 宋孝武帝听了这一言论，决定在大明九年（465）改换年号并实行新的历法。然而，事不凑巧，孝武帝在大明八年就去世了，新继位的皇帝则把改换历法的事放在了一边。 从祖冲之创制新历法并和戴法兴的辩论中我们可以看出他尊重实践、实事求是、敢于创新的可贵精神，以及思路清晰、层次分明、因势利导、就实避虚的辩论技巧。这场辩论的实质是革新与守旧之争，是真理对权势的挑战。祖冲之在这场争辩中，表现出了不畏权势、敢于坚持真理的勇气。 3 将圆周率精确到小数点后第七位数字 如果说《大明历》的制订在今天看来于我们很陌生的话，那么祖冲之在圆周率方面的贡献则是众所熟知的。 我们在求圆的周长、面积和球的体积时需要用到一个常数π，这就是圆周率。圆周率是个无理数，用任何有限的数来作为圆周率的值，都只能是近似的。我国古人最初从经验中得知要用3来作圆周率的值，即所谓的“径一周三”。后来，人们在长期的实践中发现不是“径一周三”，而是“圆径一而圆周三有余”，但究竟余多少，却无人得出准确的数字。到了西汉末年，由于建筑工程、机械制造、改进度量衡等的需要，人们开始发现用3作为圆周率进行计算太不精确了，这就促使当时的数学家对圆周率的值进行进一步精确的计算。 在我国历史上第一个不用3作圆周率的是新莽时期的刘歆，他采用的圆周率的值是3.1547，这比以前的计算结果当然要精确一些了。到了东汉，科学家张衡曾用3.1622和92/29来作圆周率的值。到了三国末期，对圆周率的研究进入了一个新的阶段，数学家刘徽在研究容器的容积和注解《九章算术》的基础上创造了用割圆术来计算圆周率数值的科学方法。割圆术的发明，是我国数学史上的一大成就，用这种方法得出的圆周率的数值是3.141024，但实际计算的时候人们往往用3.14这个数值。刘徽又把π=3.14用几何法化为157/50，后人把π=157/50称作“徽率”。 割圆术 接下来的南北朝时代，祖冲之为了天文历法上的推算和考量度量衡的需要，对圆周率做了进一步的研究。他认为刘徽计算出来的圆周率的值也不是很准确，于是就继承了刘徽割圆术这种求圆周率的科学方法，并在此基础上继续推求。 关于祖冲之在圆周率方面的成就，有关史料仅有两条，一条出自《隋书·律历志》，一条出自李淳风等注的《九章算术》。由于李淳风是《隋书·律历志》的编者，则两条史料实同出一源。 《隋书》（点校本二十四史修订本） 《隋书·律历志》相关内容是这样说的： “古之九数，圆周率三，圆径率一，其术疏舛。自刘歆、张衡、刘徽、王蕃、皮延宗之徒，各设新率，未臻折衷。宋末，南徐州从事史祖冲之，更开密法，以圆径一亿为一丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒（nǜ）数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈朒二限之间。密率，圆径一百一十三，圆周三百五十五。约率，圆径七，周二十二。……指要精密，算氏之最者也。” 其大意是：古代的数学中，都认为圆的周长是3，直径就是1，这个数值是很不精确的。刘歆、张衡、刘徽、王蕃、皮延宗等人虽然分别提出过新的圆周率的值，但是也没有让人满意的结果。到了（南朝）宋末年，南徐州从事史祖冲之创造出更精确的圆周率的值。他把1亿那么大的圆径算作1丈，那么比圆周长大的数是3.1415927丈，比圆周长小的数是3.1415926丈，圆周的长度正好在这两个数之间。密率就是355/113，约率就是22/7。祖冲之在数学方面所得到的结果，是当时最精密的。 祖冲之是世界上第一个把圆周率的值推算到小数点以后第七位数字的人，他在这一计算中指出了圆周率的“上下二限”〔即3.1415927（盈）>π>3.1415926（朒）〕，并用分数355/113作为表示圆周率的密率。密率是分子分母都在一千以内的分数形式的圆周率的最佳近似值。用这两个近似值进行计算，可以满足一定精度的要求，并且非常简便。 355/113这一密率，一千年后才由德国人奥托和荷兰人安托尼兹重新得到。可是，这一成果后来却被误认为是安托尼兹首先求出的，因而将其称为“安托尼兹率”。日本数学史家三上义夫主张应将这一数值改称为“祖率”，将荣誉还给中国古代这位伟大的数学家。 此外，直到15世纪初，阿拉伯数学家卡西才求得圆周率的17位精确小数值，从而打破了祖冲之保持近千年的纪录。 4 研究兴趣转到机械制造方面 公元464年，南朝宋前废帝登基，统治集团内部矛盾升级，刘子鸾被杀死。失去依靠的祖冲之被调到娄县（今江苏昆山东北）担任县令。后来，又调回建康做谒者仆射，负责掌管朝廷宴会、臣子朝见皇帝及重大礼仪的礼节。随着南朝宋统治力量的削弱，政权落到掌握禁卫军的萧道成手中。479年，萧道成在建康称帝，改国号为齐，史称南朝齐或萧齐。随着处境和时代的变化，祖冲之的研究兴趣也转变到了机械制造方面。其中最突出的成就就是重造了指南车、制造了水碓磨。 指南车是一种用来指示方向的车子，是中国古代独有的一项奇特发明。指南车中装有机械，车上装有木人，车子开行之前，先把木人的手指向南方，以后不论车子怎样转弯，木人的手始终都指向南方不变。指南车究竟起源于何时，已不可考证。相传远古时代黄帝对蚩尤作战，就曾经使用指南车来辨别方向。东汉的张衡、三国时代的发明家马钧都制造过指南车，但早已失传。公元417 年东晋大将刘裕进军至长安时，曾获得后秦统治者姚兴的一辆指南车，可这辆指南车只剩下了一个空架子，内部机械已经毁坏了。南朝齐高帝萧道成得知祖冲之善于发明创造，就令其重新制造一辆。经过细心推敲和反复运算、测试后，祖冲之重新制造出了指南车。 指南车模型 据说，在萧道成的御苑里还曾举行过一次别有情趣的“赛车会”，轰动了朝野。只见两辆独辕的双轮车，每辆上面都高高竖立着一个木人。当车子走动时，不论向右转还是向左转，木人的手指总是指向南方。其中的一辆，由于传递齿轮和机件都是铜做的，所以比另一辆木制的灵敏度高得多，使在场的观者无不为之拍手叫绝。 另外，由于祖冲之做过地方县令，他发现农民舂米、磨粉很费力，于是就制造了一种粮食加工工具——水碓磨。顾名思义，水碓磨是利用水的冲击力量来带动机械运转的。西晋初年的杜预曾发明连机碓，即在水流很急的地方装一个大水轮，轮轴长数尺，上面安一列横木，水力推着轮子转动的时候，轴上的横木能带动好几个石杵一起一落地在石臼里舂米。此外，他还创造了水转连磨，用水力带动石磨磨粉。祖冲之的水碓磨就是在连机碓和水转连磨的基础上改进而成的，他把水碓和石磨结合起来，不仅减轻了农民的负担，更提高了生产效率。 水碓磨 由于南方水资源丰富，河道众多，祖冲之因此还注意研究水上交通机械。他设计了一种千里船，又叫千里舩，一天能走一百余里。从上面的这些事例来看，祖冲之在机械制造方面也取得了相当大的成就。 5 祖暅：祖冲之事业的继承者 南朝齐后期，朝廷内乱不断。此时，步入晚年的祖冲之开始关心政治。南朝齐明帝时期（494—498），祖冲之被任命为长水校尉，为守卫京城的禁卫军将官。此前，祖冲之一直担任的是文官，这次调职武官，说明他对国家安危的重视。任职期间，他写了《安边论》一文，主张开垦荒地、发展农业，以增加财政收入，从而巩固边防。应该说，这是一份很中肯的建议书。然而，由于内乱和战争，祖冲之的这些建议在当时的南朝齐内部已经很难推行下去了。 公元500年，任长水校尉没多久的祖冲之去世了，享年72岁。祖冲之去世后，其子祖暅（gèng）继续着父亲的研究事业，并完成了父亲未完成的愿望。祖冲之去世后不久，萧衍就起兵夺取了帝位，建立了梁朝，史称南朝梁。由于祖冲之制订的《大明历》一直没有被施行，祖暅便一连三次向朝廷建议，最终得到了朝廷的同意，《大明历》于梁天监九年（510）正式被政府采用，从此一直沿用到陈后主祯明三年（589），在南朝内前后使用了八十年。 尤其值得一提的是，祖冲之研究球体积的算法，可惜没有完成，这个未竟的事业被祖暅彻底解决了。他还总结出了一条公理，即：“幂势既同，则积不容异。”意思是说，位于两平行平面之间的两个立体，被任意一个平行于这两平面的平面所截，如果两个截面的面积恒相等，则这两个立体的体积相等。这就是著名的“祖暅公理”。这一公理一直到17世纪才被意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚了一千多年。 祖冲之去世距今已有一千五百余年，但他锲而不舍、钻研继承的求知精神，求真求实、理性批判的怀疑精神，开拓变革、超越前人的创新精神，不畏权势、敢于坚持真理的勇气成为后人特别是后世科学家的榜样。 祖冲之一生的辉煌成就，也为他博得了极高的声誉：我国紫金山天文台发现的一颗小行星就是用他的名字命名的；法国巴黎科学博物馆“发现宫”的墙上列有世界著名科学家的名字，祖冲之的名字也在其中；俄罗斯莫斯科大学的大礼堂走廊上，有祖冲之的彩色塑像。 位于河北涞水祖冲之中学的祖冲之雕像 （本文原载于《月读》2017年第9期） （统筹：陆藜；编辑：思岐） |
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