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精密计算圆周率的第一人 ——天算学家、制造家祖冲之 在中华历史人物长廊中，“祖冲之”是个人人皆知的闪光名字，他对圆周率的精确计算，以及对天体运行的研究、历法的编制都达到了登峰造极的高度。另外他的儿子祖暅在求体积方面也取得了重大成果，在这篇小文中我们将一并介绍。 祖冲之（公元429-500年），字文远，是南北朝时期杰出的数学家、天文学家和机械制造家。他祖籍为范阳郡遒县（今河北涞源），但他出生于建康（今南京），因为他的祖父一直在南朝的宋朝政府里做官，负责建筑工程。而且，祖家历代对于天文历法都很有研究，由于家庭的影响，祖冲之从小就有接触科学技术的机会。早在青年时期，他就有了博学多才的名声，被政府派到学术研究机关——华林学省去做研究工作。后来他又在南徐州（今江苏镇江）、娄县（今江苏昆山）担任地方官职，这期间，他编制了《大明历》这部当时最精密的历法，推算出准确到六位小数的圆周率，取得了当时世界上最优秀的成绩。 宋朝末年，祖冲之回到建康在中央政府任职。齐代宋而立之后，他继续在齐朝做官。他官职一直不高，最高仅为4品，仕途上也没什么作为。后期，他又把主要兴趣转向机械制造，重造指南车，发明千里船、水碓磨等等。由于当时齐朝内乱、北魏进攻，边疆战火连绵，他写有《安边论》一文，建议朝廷开垦荒地，发展农业，巩固国防，但他的建议没能实现，72岁那年，祖冲之就去世了。 一．“祖率”的等待 在所有的简单几何图形中，我们的祖先最早认识的可能是圆，因为天上的太阳、月亮都是“圆”概念的最好样本。先人也很早就意识到，要想用手画出一个完美的圆来，实在是不容易，甚至是不可能的，直到他们发现，圆都有一个圆心，圆心到圆周上任一点的距离都是相等的，这样就发明了圆规，画圆就成了一件轻而易举的事了。 但是还有一件事总在困扰着人们，那就是求圆的周长。我们知道，由直线组成的几何图形的周长是很好求的：只要把各边的长度用尺子量出，加起来就行了。但求圆的周长不能用这种办法，圆周是弯曲的，直尺无法与其吻合，而且大圆、小圆弯曲程度不一样，我们无法造许多弯尺子来量这些大大小小的圆。不过古人发现，如果用绳子绕圆（如一段圆木）一圈，再把绳子拉直去量它的长度，那么它总是圆直径的3倍。而且对于所有的圆，这个比值是固定的，所以人们求圆的周长就用圆的直径乘以3来求得。 这个圆直径与周长的比就叫“圆周率”，上古的人们在实际应用时，一直就把它当作3，东汉时期官方还明文规定圆周率取3为计算圆周长、面积的标准。但那些肯思考的学者知道这是不准确的，因为用一个圆轮子在一根直尺上滚一圈，就会发现这一圈总是稍稍大于直径的3倍。 但是怎样求出圆周率的精确数值，却不是靠拉绳子或转轮子这些具体的操作就能解决的，必须借助于严格的数学推导。西汉末年的刘歆首先怀疑“古率”3不精确，他采用的圆周率是3.1547——这是我们今天根据西汉的量具实物，反推出来的，不知刘歆是如何得到的这个数。东汉时张衡则认为圆周率＝10的平方根（约为3.16）。 三国刘徽得到的圆周率是3.14，他的推导方法史书有明确记载。他用的是“割圆术”，大致程序是：先作一个圆，再在圆内作一个内接正六边形。假设这圆的半径是l，很容易证明：圆内接正六边形的边长恰好等于圆半径1，所以这个正六边形周长就是6。若把这正六边形的周长6当作圆的周长，用直径2去除，得到周长与直径的比为3。显然，圆内接正六边形的周长是小于圆周长的，所以圆周率一定大于3。为求出尽可能精确的圆周率，刘徽想出一个绝妙的办法，他从这个正六边形开始，逐次加倍地增加边数，使它越来越像那个圆，这样一直计算到内接正九十六边形，求得了圆周率是3.1410。他这种计算方法，实际上已跨入了近代数学中的“极限方法”门坎。 到祖冲之这里，他对这个问题极感兴趣，一连思考了许多年。他想，这个“圆周率”的精确数到底是多少呢？我一定要找出来。只要把圆画得大大的、把正多边形的边分得多多的、不厌其烦地算下去，一定能得出个精确数。这时他已人过中年，正任地方官。他叫人把自家客厅的地板刨得光光的，在上画一个半径一丈的大圆，将圆分成6等分、12等分、24等分……，依次作出圆内接正六边形、正十二边形、正二十四边形……每一步，他都按勾股定理用算筹摆出乘方、开方的式子，一一求出多边形的边长和周长。那时还没有珠算，也没有现在带＋－×÷方式的笔算，全用一些几寸长的小竹棍——算筹，按规则摆来摆去进行计算，稍有差错或碰乱了就得从头来。祖冲之不是像刘徽那样只算到内接正九十六边形，而是一口气算到24576边形。每一步，就需要对9位小数进行加、减、乘、除和开方等十多个步骤的计算，而每个步骤都要反复十几次，开方运算有50次，最后计算出的数字达到小数点后十六、七位。今天，即使用算盘和纸笔来完成这些计算，也不是一件轻而易举的事。可以想象，在1500多年前的南朝时代，一位中年人在做官之余，每天晚上昏暗的油灯下，手中不停地算呀、记呀，还要经常地重新摆放铺满一大片地板的算筹，该是一件多么艰辛的事情，幸亏有聪明伶俐的儿子祖暅在一边帮忙，才使工作顺利进行下去。当父子俩把大圆割到24576份，无法再割时，得出的圆周率是3.1415926。与此同时，他也作了同样多的圆外切正多边形，算出的圆周率是3.1415927——实在无法再往下算了，因为这24576边形的边已经短得快成了一个点了。祖冲之决定就此住手，在纸上记下：圆周率在3.1415926和3.1415927之间。 祖冲之得到这个结果，既高兴，又沮丧。高兴的是这个数字达到这么多位，远远超出刘徽的结果，沮丧的是算了好久，还是没有得出精确的数（近代数学证明，圆周率是个无理数）。中国古代习惯使用分数，祖冲之就用两个分数值表示圆周率，一个是22/7，约等于3.14，称“约率”；另一个是355/113，约等于3.1415929，称“密率”。 历史上的事大都是发生在先，被理解在后。可是，世界理解祖冲之却足足等了1000多年。原来，在中国后来的1000多年里，无人再做过超越祖冲之计算圆周率的事，甚至都无人再关心此事，后来的天文、数学、计量的圆周率值，都是3.14甚至3，连郭守敬这样的大历算家，圆周率竟然也用3——简直是伟大天才光芒中的一道弱智黑影。明清时代圆周率大都用10的平方根。阿拉伯和西方的数学知识传入我国之后，国人知道了15世纪阿拉伯的阿尔·卡西和1593年法国的维叶特，求出了圆周率在3.1415926和3.1415927之间。可是我们一查《隋书》，祖冲之早在他们1000多年之前就作出了同样的发现！ 而且祖冲之提出的“密率”（355/113），在1000年多后才由荷兰人安托尼兹重新提出，在西方一直被称作“安托尼兹率”。毫无疑问，它的公正名称应该叫“祖率”。 链接：圆周率π被证明是无理数之后，更引来了求π后面小数位数的竞赛，目前用高速的计算机，可以把π求到上万亿位，而且这个记录还在不断被突破。超过20位的π已无实用价值，因为带10位小数的π就足以使地球周长准确到一厘米，30位小数便能使整个可见宇宙的周长准确到1微米以下。但是，求π后面更多小数位数是一个时代数学、计算技术进步的尺度标志，所以人们都在努力求出π后面小数更多的位数。那么是不是随着技术的进步、计算方法的改善，我们就可以求出任意大π的位数？不是的，当我们求出的π的位数把地球上所有的纸、所有的存储单元都占满时，甚至地球、已知宇宙的每一粒原子都得用来存放一位π的数时，显然我们就无法往下算了。 二．《缀术》和“祖暅原理” 祖冲之与张衡一样，是一位远远超越时代的人。他把他多年数学研究的成果，写成《缀术》五卷，这一定是一部艰深的数学著作，《隋书》中曾提到，称“学者们无人能了解其精奥，因此被置之不理”，以至于后来失传。唐代国子监曾把《缀术》列为高等算学课本。最晚到北宋时期，还有人拿《缀术》当草稿纸练字，再以后就见不到了。幸亏他求出的圆周率另被保存在《隋书》中，否则，祖冲之求出圆周率的伟大事业就彻底被历史遗忘了。这种被埋没的成就古代不知还有多少！ 祖冲之去世后，祖暅继续父亲的研究，进一步发现了计算球体积的方法。 在我国古代数学著作《九章算术》中，曾有计算球体积的公式，但很不准确。刘徽指出过它的错误，但究竞应当怎样计算，他也没能解决。经祖暅钻研，终于找到了正确的计算方法。他所推算出的计算球体积的公式用今天的写法是：球体积（D为球直径）。现在我们依然用这个公式求球的体积。 祖暅寻找球体积计算公式中，还发现一个重要原理：“截面积都相等的两个几何体的体积必相等”。换成通俗的话，可以这样记： 兩個胖子一般高， 平行地面做CT ， 每片面积都相等， 兩人必定同体积。 直到1100多年后，意大利数学家卡瓦利里才提出类似的原理，在西方一直被称为“卡瓦列利”原理，但我们可以理直气壮地叫它“祖暅原理”。 三．《大明历》 假如祖冲之在推算圆周率方面的工作被历史遗忘的话，他仍然会是一位杰出的历史人物，因为他在天文学方面的许多贡献都被写入史书，是不可能被人们遗忘的。 祖冲之看到前人的历法有一些疏漏，便决心编制一部新的历法。首先他作了大量观测，发明了日晷测影的“对称法”，可以测得非常精确的冬至时刻，由此求出一回归年的长度是365.2428天，与现在推算值只差50秒左右，这个数据一直用到南宋。他测定的朔望月长度为29.5305915日，与真值仅差0.5秒。 我们知道，朔望月的十二个月比阳历一年要短10天左右，为了保证农历的一年与阳历的一年同步，必须每过3年左右就在十二个朔望月之间增加一个月，称“闰月”。从上古开始，我国历法家一直采用的是“十九年七闰”周期，即：19个农历年中要插入7个朔望月。但这过于粗糙，公元412年，北凉赵（匪欠）认为在600中插入221个闰月，才更合理，但没有引起当时人的注意。祖冲之利用他得出的精确的回归年、朔望月长度，提出391年144闰，达到非常精确的程度。 祖冲之还破天荒第一次把“岁差”引入历法。过去天文家认为在赤道坐标中，冬至点、春分点等都是固定的，即使发现有变，也以为是前人测得不准，到东晋初年，天文学家虞喜才发现，冬至点是以每50年一度的速度均匀向西后退的（古希腊的喜帕恰斯更早就发现了这一现象，定出是每100年一度，实际现代值是71.7年一度）。其原因我们现在知道，是日月对地球赤道凸起部分的附加吸引使地球自转轴在空中“画圈”造成的。祖冲之在他制作的《大明历》中引入了岁差，这样历法当然就更精密了。用不过他求得的岁差值不太准，约46年退一度。 另外祖冲之还对用于求日月食周期的“交点月”、五大行星的会合周期等都作了更精确的推算。根据上述的研究成果，修成了当时最科学、最进步的历法——《大明历》。 公元462年（宋大明六年），33岁的祖冲之把《大明历》献给政府，请求公布实行。听到有不少反对意见后，宋孝武帝决定让懂得历法的官员对进行讨论。讨论中，皇帝的亲信权臣戴法兴极力反对《大明历》，朝廷大小官员也都随声附和。 虽然戴法兴居高临下，但祖冲之年青气盛，发现戴法兴的驳难大都是虚张声势，根本不怕，针锋相对地据理力争。戴法兴说：冬至时，太阳总在固定位置上，这是古圣先贤测定的，万世不变，你竟说冬至点每年有移动，是诬蔑老天，违背经典，十九年七闰的历法，也是先贤制定，怎么能乱改呢？祖冲之拿出古圣先贤的文献记载和历代观测太阳的记录，雄辩地证明冬至点是有变动的。他指出：事实十分明白，怎么可以信古而疑今？十九年七闰本不精密，旧的历法不精确，难道永远用下去？ 在这场大辩论中，许多大臣被祖冲之精辟透彻的理论说服了，于是宋孝武帝决定在大明九年（公元465年）改行新历。哪知大明八年孝武帝突然死了，接着统治集团内发生变乱，改历这件事就被搁置起来。在祖暅的努力下，一直到梁朝天监九年（公元510年），新历才被正式采用，可是那时祖冲之已去世十年了。 四．指南车 指南车是中国古代独有的一项奇特发明。这是一种用来指示方向的车子。车中装有机械，车上装有木人。车子开行之前；先把木人的手指向南方，以后不论车子怎样转弯，木人的手始终指向南方不变。相传远古时代黄帝对蚩尤作战，就曾使用指南车来辨别方向，还相传周公也发明过指南车，看来它曾一次次失传，又一次次被重新发明。以后有东汉的张衡、三国时代的马钧也发明过。 公元417年，东晋大将刘裕（也就是后来宋朝的开国皇帝）攻进长安时，获得了后秦的一辆旧指南车，但车子里面的机件已经丢失，车子随驾出行时，只好在车里藏一个真人，让他根据指南针方位来转动木人，使它总指向南方。后来得知祖冲之善于发明制作，齐高帝萧道成就令祖冲之重新制造一台。恰好祖冲之多年来就一直琢磨指南车的原理和构造，他经过精心推敲和反复测试，成功地设计了内部机械装置，车箱内能自动离合的齿轮系统全用铜铸造，精密度极高。 当祖冲之制造指南车的时候，北朝有一个名叫索驭驎的来到南朝，自称也会制造指南车，要与祖冲之一比高低。于是萧道成也让他制成一辆，在皇宫乐游苑与祖冲之造的指南车比赛。结果在跑了各种各样的路线之后，索驭驎所制指南车的木人指向早已失灵，祖冲之的指南车却运转自如，木人却始终牢牢指向南方，观者无不心悦诚服。索驭驎也只得甘拜下风，回去就把自己的指南车劈掉了。 当然，祖冲之制造的指南车，也还是失传了，我们现在看到的能运转的指南车，都是带专利的现代发明。 据说春秋时期，有一直器皿叫“欹器”，孔子非常欣赏。它空着的时候，是立不起来的，盛了一半水以后，就可以把它竖立起来，如果水满了，它又会倒向一边——欹器是古人用来警诫人们不要无知、也自满的器具。这种器具，晋朝的学者杜预曾试制三次，都没有成功；祖冲之却仿制成功了，并把它送给齐武帝的第二个儿子萧子良。由此可见，祖冲之对各种机械用具都有深刻的研究。 祖冲之也制造了很有用的劳动工具。他看到百姓舂米、磨粉很费力，就发明了一种粮食加工工具，叫作水碓磨。把用水力舂米的水碓和磨粉的水磨结合起来，大大提高了生产效率。这种加工工具，现在我国南方有些农村还在使用着。祖冲之还设计制造过一种船。它可能是利用轮子激水前进的原理造成的，一天能行一百多里。此外历史记载祖冲之精通音律，擅长下棋，还写有小说《述异记》。他的著述很多，但大多都已失传。 为了纪念祖冲之的功绩，人们将小行星1888命名为“祖冲之小行星”，将月球背面的一环形山命名为“祖冲之环形山”，因为他曾算得朔望月的极精确数据，凭这一点他作为“月球荣誉公民”应该是当之无愧了。 链接：祖暅又叫祖暅之，这样有一个奇特的现象：祖冲之的曾祖父叫祖台之，父亲叫祖朔之，儿子叫祖暅之，祖氏简直代代都和“之”字结下不解之缘。 |
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