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答：一般的解释，用开普勒定律就行了；要去证明这个结论，对数学有较高要求；不过相信有部分读者，希望我能给出严格数学的证明，那我们就来试试吧！ 万有引力的历史开普勒定律，在1618年由德国科学家开普勒提出，开普勒第一定律就指出了行星运行的轨道为椭圆；万有引力定律，在1687年，由牛顿于《自然哲学的数学原理》上发表。 两者是统一的，开普勒定律是万有引力的表象，意味着我们可以由万有引力定律，去推导开普勒三大定律。 在历史上，最先有万有引力和距离平方成反比想法的，是英国科学家胡克，就是那个对牛顿来说嫉恶如仇的胡克。 最先胡克是牛顿的领导（英国皇家学会会长），胡克在数学上远远不及牛顿，虽然胡克有了万有引力的想法，但是仅限于想法而已。 好比某些民科，天天唠叨这个是错的，那个是不对的，我的说法才是对的！然而，并没有什么用，因为他只会做“猜想”，然后什么也做不了！（当然，我的意思并不是贬低胡克，胡克也是一位伟大的科学家） 胡克就失败在这里，不然发现万有引力的皇冠，就是他的了！ 胡克还是英国皇家学会会长时，请教过牛顿，问牛顿是否能通过“引力和距离平方成反比”，来推导行星椭圆运动规律，牛顿给胡克的回答是肯定的，但是并没有告诉胡克具体的推导过程。 牛顿大神利用自创的微积分，加上天才的头脑，推导行星椭圆轨道，简直就是易如反掌。 以至于后来牛顿和胡克，因为“万有引力第一发现者”而结仇，当牛顿坐上英国皇家学会会长的位置后，恨不得把胡克打入“十八层地狱”。 万有引力定律推导椭圆轨道在这里，我们不用牛顿的证明方法，我们借助虚数的性质来证明，会更容易些，但是过程并不简单。 第一步： 万有引力定律大家都知道，但是大家知道万有引力的矢量形式吗? 其中（-e^iθ）借助欧拉公式后，表示的就是单位大小的矢量因子，给出了万有引力的方向，同时与万有引力结合参与运算；至于负号，是因为θ=0时，万有引力方向指向原点；然后利用牛二定律，得到加速度a。 第二步： 这里，我们需要来研究一下，速度和加速度极坐标的微分形式： 请记住这两个方程，后面需要反复用到。 第三步： 根据前面万有引力得到的加速度公式，和（2）得到微分方程： 是不是有点吓人！ 第四步： 不过注意啦！我们引入虚数是有原因的，我们让实部等于实部，虚部等于虚部，就能化简为两个微分方程。 第五步： 对于第一个微分方程，不就是一个分部积分嘛，立马得到： 其中c1为积分常数，有人可能看出来了，这是开普勒第二定律——面积定律！我们得到了一个结果，看样子并不难！ 第六步： 但是对于第二个微分方程，求解很困难，我们先放到一边；因为对于第一个微分方程，我们还没利用完，把面积定律的结果，再次带入最先得到的加速度公式： 第七步： 然后把我们得到的速度，带入速度的微分形式（1）： 第八步： 这里，同样可以简化为两个微分方程： 第九步： 对于第二个微分方程，再次带入面积定律，将得到万有引力下，物体运动的轨迹方程：
这不就是，圆锥曲线的标准方程吗？其中e为偏心率！ （1）当e=0时，曲线为正圆； （2）当0<><> （3）当e=1时，曲线为开口向上的抛物线； （4）当e>1时，曲线为极点在上焦点的双曲线； 分析至于偏心率实际为多少，取决于c1、C和GM，为大天体的引力场分布，和小物体的初始状态；sinθ=0为近日点，sinθ=1为远日点。 如果你带入地球的参数，e肯定在（0，1）之间，有兴趣的读者朋友，可以去是试一下，在这我不详述带入数据的过程。
总结：我们以万有引力定律为基础，推导了开普勒第一定律和第二定律，并给出了准确的轨道方程；其中关键的，就是中间借助了虚数i来参与运算，这样大大简化了推导过程；如果不使用虚数i，考虑方向的情况下，推导过程将会十分复杂。 好啦！我的答案就到这里，喜欢我们答案的读者朋友，记得点击关注我们——艾伯史密斯！ |
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