数学史话之小兔子乖乖斐波那契

欧洲自476年西罗马帝国灭亡之后，开始进入长达一千年的黑暗中世纪时代。那是一个科学被完全摒弃和摧毁的时代，那是一个识字只能靠读经、治病只能靠念经的时代，数学在此期间长期处于停滞状态，有名的数学家更是寥若晨星，直到12世纪以后才有了复苏的迹象。这种复苏开始是受了翻译、传播希腊、阿拉伯著作的刺激。对希腊与东方古典数学成就的发掘、探讨，最终导致了文艺复兴时期（15～16世纪）欧洲数学的高涨。文艺复兴的前哨意大利，由于其特殊地理位置与贸易联系而成为东西方文化的熔炉。而我们本文要讲的斐波那契则是欧洲黑暗时代以后第一位有影响的数学家。

斐波那契

斐波那契在1175年出生于意大利的比萨，他的真名叫列奥纳多，由于他父亲的外号叫：Bonacci，意思是好、自然、简单的。所以列奥纳多也得到了一个外号：Fibonacci，意思是Bonacci之子。斐波那契的父亲是个商人，由于斐波那契从小就协助父亲工作，所以学会了使用阿拉伯数。后来斐波那契前往地中海一带，跟随阿拉伯数学家学习数学，在1200年左右的时候回国，并且开始写作数学著作，其中最著名的当数《算经》一书。《算经》最大的功绩是系统介绍印度记数法，影响并改变了欧洲数学的面貌。现传《算经》是1228年的修订版，其中还引进了著名的"斐波那契数列"。另外还有《几何实践》、《平方数书》、《花朵》，《几何实践》着重叙述了希腊几何与三角术，《平方数书》专论二次丢番图方程，《花朵》内容多为菲德里克二世宫廷数学竞赛问题。

斐波那契数列，又称黄金分割数列，因斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为"兔子数列"。指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F(0)=0，F(1)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*），它的通项公式为：这是一个用无理数表示有理数的一个范例。而且当n趋向于无穷大时，前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割0.618（或者说后一项与前一项的比值小数部分越来越逼近0.618）。1/1=1，1/2=0.5，2/3=0.666...，3/5=0.6，5/8=0.625……55/89=0.617977……144/233=0.618025……46368/75025=0.6180339886……，越到后面，这些比值越接近黄金比。我们也可以通过数学的证明来看：

证明：

两边同时除以

得到：

若 的极限存在，设其极限为x，

则

所以

由于

解得

所以极限是黄金分割比。

斐波那契数列

斐波那契数列中的斐波那契数会经常出现在我们的眼前--比如松果、凤梨、树叶的排列、某些花朵的花瓣数（典型的有向日葵花瓣），蜂巢，蜻蜓翅膀，超越数e（可以推出更多），黄金矩形、黄金分割、等角螺线，十二平均律等。

向日葵中的斐波那契数列

而所有的这一切，都是因为斐波那契为了计算兔子数而引入了。最后，让我们以美丽的斐波那契螺线来结束欧洲中世纪数学吧。

斐波那契螺线