双动点问题的解决策略

如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8,BC=6,点D是平面内的一个动点，且AD=4，M为BD的中点。设线段CM长度为a，在D点运动过程中，a的取值范围是__________

图1

分析：本题是动点问题，而且是双动点问题，按照“主动支配从动，从动跟随主动，动中找定”构想，回归到“动中取静”的策略。

你能读懂“点D是平面内的一个动点，且AD=4”这句话的含义吗？D是动点但不是随意的点，而是以A为圆心，AD=4的长为半径的作圆周

运动。

构图如图2：

通过显示圆作出主动点D、从动点M运动的轨迹

主动点D运动轨迹：以定点A为圆心、AD=4为半径作圆

从动点M运动轨迹：以定点AB的中点P为圆心，(1/2)AD=2长为半径的作圆

发现：圆生圆，有相似

图2

解题：

在Rt△ABC中：中线PC=(1/2)AB=5

在△ABD中：中位线PM=(1/2)AD=2

CM长的范围转化为“圆外定点到圆上最值”问题，即C、P、M三点共线问题。

运动到如图3位置时：CM最大=PC+PM=5+2=7

图3

运动到如图4位置时：CM最小=PC-PM=5-2=3

图4

故CM的范围是：3≤a≤7

题外，这个构图就是我的头条号logo！