直线的极坐标方程

简单回顾一下，在直角坐标系里，水平的叫x轴，竖直的叫y轴，两轴交点叫原点。我们描述一个点，会用它到两轴的距离x、y来表示^①。

极坐标系^②呢，只有一条射线，左端点叫极点，这条射线叫极轴。描述点的时候，会用这个点到极点的距离ρ，以及该点和极点的连线l，与极轴的夹角θ来表示。

虽然你现在不喜欢极坐标系，但是你不了解一个人的时候，也很难特别喜欢他。

今天先拿直线来说，你可能不喜欢，但要熬过认识它的第一阶段。

从最简单的开始：

01

如果我们把它放在原点，那你会说它的斜率是

这条直线的方程就是y=x。

发现没有，你习惯性的表示x和y之间的关系，从而得到直线方程。

那如果把它放在极坐标系里呢，一样的思路，去找ρ和θ的关系就好。

这条直线上所有的点，到极轴的夹角都是，

而这些点到极点的距离是任意的，所以直线方程就是

，

吗？

觉不觉的有问题？我们随便取点验证一下。

所以其实，这条直线的方程的是由两条射线构成的，完整写出来就是：

我们发现，随便取点，是一个非常重要的方法！

用“在直线上任取点A(ρ,θ)，观察图形，找ρ和θ的关系”这种方法，我们试试其他直线的方程怎么写：

02

一条过点P(2,0)，且垂直于极轴的直线方程？

在直线l上任取一点A(ρ,θ)，在图上找到A点的极径ρ和极角θ。

从直角△OPA里面可以发现：

，

这就是ρ和θ的关系，简单整理一下就好了：

 

所以构造直角三角形，是找几何关系的重要方法。同类型的特殊直线，还有平行于坐标轴的，你试一下：

03

在直线l上任取一点A(ρ,θ)，在图上找到A点的极径ρ和极角θ。

构造直角三角形，找ρ和θ的关系：

整理一下：

好，说了这么多特殊情况，一条长相随意的直线方程呢？

 

04

设直线l过点P(r,α)，与极轴的夹角为β，求直线l的极坐标方程。

题目的图

标上几何量的图

找到任意点A(ρ,θ)的图

这次没有直角三角形了，三角形里还有哪些边角关系？——正弦定理！

找到ρ和θ的关系的图

在△OPA中，由正弦定理得：

 

05

其实，如果你愿意抛开自己的求知欲去看前面的几个问题，你也可以把它们全都转化成直角坐标系里的问题来解，再用公式^④转化成极坐标方程：

2.一条过点P(2,0)，且垂直于极轴的直线方程？

4.设直线l过点P(r,α)，与极轴的夹角为β，求直线l的极坐标方程。

 

ps

①直角坐标系里，坐标有正负你知道的，我喜欢把符号理解成方向。

②关于极坐标系的概念，在这篇推文里：极坐标系。

③有的时候，为了表示方便，也可以像直角坐标系里那样，给ρ加上符号表示方向，这样的话ρ∈R就行了，直线写成：

.

④详情推荐两篇推文：直角坐标与极坐标的转化，直角坐标方程与极坐标方程的转化。