深度理解极坐标和球坐标

首先，谈谈为什么数学要引入坐标系？

坐标的本质是为了方便地定位，数学中的坐标也不例外。作为数学的重要概念，坐标系是用代数方法研究几何问题最有力的工具。通过将几何元素（点、线、面、体）用坐标表示出来，应用代数化的方程、运算等达成度量几何体、处理几何问题的目标。例如，

把一个三角形置于坐标系中，确定三角形的三个顶点坐标后，可以应用两点距离公式方便地计算边长、面积等。

在平面直角坐标系中，y=kx b表示直线，x² y²=r²表示圆，通过计算原点到直线的距离，并与圆半径r比较，可以方便地判断直线与圆的位置关系。等等。

其次，说说高等数学中常用哪些坐标系？

1.直角坐标系

一维空间中就是数轴，是一条有向直线，有原点，并确定了单位长度。二维空间中是平面直角坐标系，是由在原点处相交且相互垂直的2个数轴(坐标轴)构成。三维空间中是空间直角坐标系，是由在原点处相交且两两相互垂直的3个数轴(坐标轴)构成。

(1)直角坐标系中点坐标的确定

设平面直角坐标系中，坐标原点为O。则

平面上任意一点M←→有序数对(x,y)←→平面向量OM

即三者是一一对应的，因此彼此不分家。就像一个班级里学生与其姓名、学号是一一对应的，这样，老师找某学生时，可以说他姓名，也可以说他学号都不会混淆。因此，我们通常表示为点M(x,y)，或者向量OM=(x,y)。

在平面直角坐标系中，点M或向量OM的坐标(x,y)是这样确定的，过M点作x轴的垂线且与x轴交点(即点M在x轴上的投影)在x轴(数轴)上的坐标x即为平面点M的横坐标，过M点作y轴的垂线且与y轴交点在y轴(数轴)上的坐标y即为平面点M的纵坐标。例如

同理，在空间直角坐标系中，点的坐标是三维有序数组构成，如点A(1,2,1.5)

(2)直角坐标系的优点

在平面直角坐标系中，垂直于x轴、y轴的直线可以分别表示为x=a，y=b。要表示一个圆心在原点的圆就要用稍微复杂一点的方程x² y²=r²。其中a, b, r都为常数。

在空间直角坐标系中，垂直于x轴、y轴、z轴的平面可以分别表示为x=a，y=b，z=c。而一个球心在原点的球面方程为x² y² z²=r²。其中a, b, c, r都是常数。

2. 极坐标系

在平面上，表示点的有序数对可以与直角坐标系的坐标不同。

极坐标系的建立：①在平面内取一个定点O，叫做极点；②从极点O点引一条射线Ox，叫做极轴；③再选定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向)。

(1)极坐标系中点坐标的确定

对于平面上的点M，用ρ表示线段OM的长度，用θ表示以射线Ox为始边，射线OM为终边所成的角，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对(ρ, θ)就是点M的极坐标。一般地ρ≥0，θ可取任意实数，特别规定极点坐标为(0, θ)。有的教材对ρ的取值也不加限制，可以取任意实数。

可以看出，极坐标系中，点和有序数对不再是一一对应关系。任意一个点都可以有无穷个坐标，即对于固定的ρ≥0和θ，(ρ, 2kπ θ)都表示同一个点，其中k为整数。有时为了保持点与坐标的一一对应关系，可限制ρ≥0，0≤θ<2π(或-π<θ≤π)，这样除极点O外，其他点都与有序数对一一对应了。

对于初学者来说，觉得点和坐标不一一对应可能会引起混乱，但事实上，点与有序数对即坐标不一一对应并不能说明极坐标系不是好的坐标系，有时不一一对应反而很方便。例如，阿基米德螺线极坐标方程为ρ=aθ，其中a为正常数，θ>0。

如果要在ρ≥0，0≤θ<2π(或-π<θ≤π)下，则螺线的方程相对复杂。

(2)极坐标与直角坐标的相互转化

平面上任一点M，在直角坐标系和极坐标系中的坐标表示是不同的。为考察两种坐标之间的关系，将两种坐标系都画出来，并使直角坐标系原点和极坐标系极点重合，直角坐标系的x轴和极坐标系的极轴重合。

这样做是有道理的，因为直角坐标系中原点可以看作是基点，其他点的坐标都是以原点为基准的相对位置确定的。同样极坐标系是以极点和极轴为基准来确定其他点的坐标的。

不难看出

因此很容易地可以将直角坐标方程f(x, y)=0化为极坐标方程f(ρ cos θ, ρ sin θ)=0。

反过来，要从x =ρ cos θ, y =ρ sin θ求出ρ和θ，相当于求反函数，我们知道这种操作通常要在两种坐标间建立一一对应关系，否则反函数是多值函数。不妨限制ρ≥0，0≤θ<2π，极点唯一坐标为O(0,0)。这时有

(3)极坐标系的优点

在极坐标系中，要表示平面上一个以极点为圆心的圆和过极点的射线很简单，ρ=r就是圆，θ=α就是射线，其中r>0和0≤α<2π都是常数。可以看出，直角坐标表示直线和平面很方便，而极坐标表示圆却很方便。

3.柱坐标系

在空间直角坐标系中，xoy平面上以极坐标替换直角坐标，而第三维度(即z轴)仍然采用直角坐标，这样形成的坐标系就是柱坐标系。柱坐标系中点的坐标形如M(ρ,θ,z)，其中z的意义与空间直角坐标系中相同，ρ,θ的意义与平面极坐标系中相相似。由于是三维空间，因此

z=c仍表示垂直于z轴的平面；

ρ=r表示母线平行于z轴的圆柱面；

θ=α表示过z轴的半平面；

当然，在xoz平面使用极坐标，y轴保持直角坐标也是可以的。

柱形几何体用柱坐标系是很有优势的。

4.球坐标系

设O为空间直角坐标系原点，M为空间任一点。ρ表示线段OM的长度，φ表示OM与z轴正向的夹角，M在xoy平面上的投影为M₀，θ表示线段OM₀与x轴正向的夹角，且从z轴正向看逆时针方向为θ正方向，则M点的坐标可以表示为M(ρ,φ,θ)。

这就是球坐标系，在球坐标系中，点的坐标也不唯一。在实际应用中，根据实际情况常规定

ρ≥0，0≤φ<π，0≤θ<2π(或-π/2<θ≤π/2)

可以看出，点的直角坐标和球坐标之间关系为

上式中，ρ,θ,φ关于x,y,z的三个表达式只是点位于第一卦限的情况，若点在其他卦限还应做出相应调整。

球面x² y² z²=r²的球坐标方程为ρ=r，可以看出球坐标系对处理球形几何体具有极大优势，也是其称为球坐标的原因。

柱坐标和球坐标在高等数学中的最主要应用是三重积分的计算。对于圆柱形和球形几何体上的三重积分，应用柱坐标和球坐标可以大大地简化计算。