高中数学：直线与圆锥曲线的位置关系的判断

直线与圆锥曲线的位置关系有相交、相切、相离。

（1）直线与椭圆的位置关系。

设直线L方程是：,椭圆方程是，则由消去y：得              （*）

设方程（*）的判别式

(i)若方程（*）有两不等实根直线L与椭圆相交直线与椭圆有两个不同的公共点。

(ii)若方程（*）有两个相等的实根直线L与椭圆相切直线与椭圆只有一个公共点。

(iii)若方程（*）无实根直线L与椭圆相离直线与椭圆无公共点。

(2)直线与双曲线的位置关系

设直线L：，双曲线方程：

当直线L与双曲线的渐近线平行时：直线L与双曲线相交有一个公共点或没有公共点。

当直线L与双曲线的渐近线不平行时：

消去y得关于x的方程：      （*）

若方程（*）有两不等实根直线L与双曲线相交直线与双曲线有两个不同的公共点。

若方程（*）有两个相等的实根直线L与双曲线相切直线与双曲线只有一个公共点。

若方程（*）无实根直线L与双曲线相离直线与双曲线无公共点。

注：当直线L与双曲线只有一个公共点时，直线L与双曲线可能相交，也可能相切。

（3）设直线L：,设抛物线方程为

若直线L与抛物线的对称轴平行或重合时，直线L与抛物线相交有一个交点

若直线L与抛物线的对称轴不平行或不重合时：

消去y得： （*）

若方程（*）有两不等实根直线L与抛物线相交直线与抛物线有两个不同的公共点。

若方程（*）有两个相等的实根直线L与抛物线相切直线与抛物线只有一个公共点。

若方程（*）无实根直线L与抛物线相离直线与抛物线无公共点。

注：当直线L与抛物线只有一个公共点时可能相交也可能相切。

例、已知双曲线直线L:，讨论直线L与双曲线的公共点个数。

【思路分析】：当直线L的方程与双曲线方程组成方程组，消去y得到关于x的一元方程 ，（1）若直线L与双曲线的渐近线平行时 m=0,（2）当直线L与双曲线的渐近线不平行，然后讨论方程根的个数。

解：   将②代入①得：

    ③

（i）当,方程2x=5,方程组有一解，此时直线L与双曲线相交，有一个公共点。（此时直线L与双曲线的渐近线平行）

（ii）当时，

    时，方程组有两个解，直线L与双曲线有两个公共点。

若，即当时，方程组有一解，即直线L与双曲线有一个公共点。

若，即时，方程组无解，即直线L与双曲线无公共点。

综合上述：当时，直线L与双曲线只有一个公共点，

当时，直线L与双曲线有两个公共点。

当时，直线L与双曲线无公共点。