一道高考解析几何题的背景溯源

一道高考解析几何题的背景溯源

──极点、极线与圆锥曲线的位置关系

湖北省阳新县高级中学　邹生书

题目　已知椭圆的两个焦点，点满足，则的取值范围是　　　　，直线与椭圆的公共点的个数是　　.

 

这是2010年高考湖北卷文科第15题，本题是一道涉及到点、直线与圆锥曲线的位置关系的判定的考题．从高等几何的观点知，这里的点和直线就是椭圆的一对极点与极线，本题第二问实际上是：已知椭圆的极点在椭圆内，判断极线与椭圆的位置关系．据笔者之前发表的文章中圆锥曲线极点和极线的几何性质可得如下结论：

 

定理　已知点和直线是圆锥曲线的一对极点与极线．（1）若极点在曲线上，则极线与曲线的相切于点；（2）若极点在曲线内，则极线与曲线的相离；（2）若极点在曲线外，则极线与曲线的相交．

 

由该定理不难知道，考题中的直线与椭圆相离，故公共点个数为0．若运用几何画板进行实验操作动态演示，不仅可以验证确认该结论，而且还可获得直观感知从而加深印象强化理解．本文将借用判别式法给出该定理的另一种证明．

 

为了表达方便我们给出圆锥曲线内部和外部的定义．圆、椭圆是封闭图形其内部和外部不言而喻，抛物线、双曲线不是封闭的是开的，我们参考一些杂志专著，对双曲线和抛物线的内部和外部给出如下定义：焦点所在的平面区域称为该曲线的内部，不含焦点的平面区域称为曲线的外部，曲线上的点既不在内部也不在外部．关于点与圆锥曲线位置关系我们有如下结论（这里证明从略）．

 

引理1　已知点和抛物线．则（1）点在上；（2）点在内；（3）点在外．

 

引理2　已知点和椭圆（或圆）．则（1）点在上；（2）点在内；（3）点在外．

引理3　已知点和双曲线．则（1）点在上；（2）点在内；（3）点在外．

 

圆锥曲线把平面上的点分成三个部分：曲线上的点、曲线内的点和曲线外的点，每一部分的点的坐标对于曲线方程的左右两边的值具有相同的大小关系，真是“物以类集，人以群分”．下面将圆锥曲线分为抛物线、椭圆（圆）和双曲线三种情形，借用判别式法对定理给出如下证明．

 

定理1　已知点和直线是抛物线的一对极点与极线．则（1）点在上直线与相切于点；（2）点在内直线与相离；（3）点在外直线与相交．

 

证明　由得，，将其代入抛物线方程得，，所以．所以，（1）点在上直线与相切于点；（2）点在内直线与相离；（3）点在外直线与相交．

 

定理2　已知点和直线是椭圆（圆）的一对极点与极线．则（1）点在上直线与相切于点；（2）点在内直线与相离；（3）点在外直线与相交．

证明　当时，．则（1）点在直线与相切于点；（2）点在内直线与相离；（3）点在外直线与相交．

 

当时，，将其代入曲线方程整理得，．所以．所以，

（1）点在上直线与相切于点；（2）点在内直线与相离；（3）点在外直线与相交．

 

综上所述，命题结论正确．同理可证如下如下结论：

 

定理3　已知点和直线是双曲线的一对极点与极线．则（1）点在上直线与相切于点；（2）点在内直线与相离；（3）点在外直线与相交．

 

下面举例说明极点、极线与圆锥曲线位置关系在解题中的应用．

 

1.判断点与圆锥曲线的位置关系

 

例1　若直线和没有公共点，则过点的直线与椭圆的公共点（  ）

 

至少有一个  有两个    只有一个   不存在

 

解　显然点和直线恰好是的一对极点和极线，又极线与圆没有公共点，所以极点在圆内，所以，所以，所以，所以点在椭圆内（实际上，由图形可知圆上除两个点在椭圆上外，其余点均在椭圆内，因点在圆内，则点必在椭圆内），故过点的直线与椭圆相交有两个公共点，故应选．

 

例2　已知直线与双曲线没有公共点，则的取值范围是　　　　．

 

解　因为极线与双曲线没有公共点，所以对应极点在双曲线内部，所以有，故的取值范围是．

 

2.判断直线与圆锥曲线的位置关系

 

例3　若点是内一点，直线是以点为中点的弦所在的直线，直线的方程为，则（  ）

，且与相离      ，且与相交 

 ，且与相离    ，且与相交   

 

解　显然点和直线恰好是的一对极点和极线，因极点在圆内，所以极与圆相离．又是直线的一个法向量，所以，而直线是以点为中点的弦所在的直线，所以，所以．故应选．

 

例4　已知曲线，过点能否作一条直线，与双曲线相交于两点，且点是线段的中点？

 

解　假设存在这样的直线．设，则 ，两式相减得，．因点是线段的中点，所以，代入上式可得．若则有，于是两点重合不合题意，所以，所以，即直线的斜率为，故直线的点斜式方程为，即．将直线方程化为双曲线的极线方程形式得，因直线对应的极点为，而 ，所以极点在双曲线内，从而直线与双曲线相离没有公共点，这与假设矛盾，故不存在这样的直线．

2011-05-06  人教网