高中数学：圆锥曲线中与焦半径相关的张角问题的解题策略

圆锥曲线中的张角问题（特别是与焦半径相关的问题）是解析几何中的一个综合性较强的重点内容。

 

一、曲线定义法

我们可以利用椭圆的定义（）或双曲线的定义解求得所需结果。

 

例1. 椭圆上一点P与两个焦点的张角∠，求证：△F₁PF₂的面积为。

图1

证明：

①式平方与②式作差得：

所以

 

二、特征图象法

利用椭圆或双曲线中a、b、c构成的特征三角形解决问题，有时学生感到比较直观、好用。

1. 如图2，椭圆中，特征△OF₂B₂，其三边长分别为a、b、c，（e(0，1)）。

图2

2. 如图3，双曲线中，特征，其三边长分别为a、b、c，（e）。利用这种方法我们可以解决下面这类问题。

图3

 

例2. 已知双曲线的离心率是2，求它的两条渐近线的夹角。

解：，

所以

所以夹角为。

 

三、正弦定理法

如果中出现两个角，可以考虑应用正弦定理。

例3. 已知椭圆上一点P及两焦点，若，，试求椭圆的离心率。

图4

解：由正弦定理有，

即

所以

 

四、余弦定理法

如果在中仅知一个角，我们经常要联想到余弦定理解决问题。

例4. 已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，分别为左、右焦点，双曲线的右支上有一点P，∠，且△的面积为，双曲线的离心率为2，求该双曲线的方程。

图5

解：设双曲线的方程为，，。在△PF₁F₂中，由余弦定理，得

，

即  

又因为

所以

所以

所以

即

又因为

所以

所以所求双曲线方程为。

 

五、到角公式法

有时角不是特殊角，用余弦定理比较复杂，可以考虑利用直线的角的公式来解。

例5. 若椭圆上有一点Q，到长轴两端点A、B所成的张角∠AQB＝120°，试求离心率e的取值范围。

图6

解：因为椭圆是关于x轴对称的图形，所以不妨设点Q在x轴上方，

即

则，

所以

所以

因为

所以。

 

六、曲线交轨法

通过几何图形，找出适合题意的途径解决问题。

例6. 椭圆的焦点为，点P为其上一个动点，当∠F₁PF₂为钝角时，求点P的横坐标的取值范围。

解：以为直径的圆上的点为Q时，，于是P在以为直径的圆的内部，同时P在椭圆上。易知以为直径的圆的方程为。

由

解得

即点Q横坐标为。

所以点P横坐标取值范围是。

 

七、平面向量法

利用以下结论，在中

图7

1. ∠F₁PF₂为锐角；

2. ∠F₁PF₂为直角；

3. ∠F₁PF₂为钝角。

有关角的问题可以用向量形式表示，再来求解。

 

例7. 已知曲线C的方程为，A（－1，0），B（1，0），过点B的直线l与曲线C交于M，N两点，若∠MAN为钝角，求直线l的倾斜角为的取值范围。

解：（1）若l⊥x轴，则l的方程为

，

（不合题意）。

（2）若l与x轴重合，则∠MAN＝π（不合题意）。

（3）若l与x轴、y轴不垂直，设，代入曲线C的方程得

所以

因为∠MAN为钝角，所以

所以，

所以。

所以倾斜角的范围是：

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